Редактирование: Численные Методы, Определения
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Длина этой страницы составляет 44 килобайт. Страницы, размер которых приближается к 32 КБ или превышает это значение, могут неверно отображаться в некоторых браузерах. Пожалуйста, рассмотрите вариант разбиения страницы на меньшие части.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 197: | Строка 197: | ||
== Соотношение сложностей методов Якоби и Зейделя == | == Соотношение сложностей методов Якоби и Зейделя == | ||
- | По сложности и скорости сходимости эти два метода одинаковы. | + | По сложности и скорости сходимости эти два метода одинаковы. |
== Двуслойная запись == | == Двуслойная запись == | ||
Строка 285: | Строка 285: | ||
== Оценка скорости сходимости МПИ == | == Оценка скорости сходимости МПИ == | ||
- | '''Следствие 2 из теоремы об оценке скорости сходимости итерационного метода.''' Пусть A = | + | '''Следствие 2 из теоремы об оценке скорости сходимости итерационного метода.''' Пусть A = a* > 0, |
* γ<sub>1</sub> = min<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>, > 0 в силу положительной определённости | * γ<sub>1</sub> = min<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>, > 0 в силу положительной определённости | ||
* γ<sub>2</sub> = max<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup> | * γ<sub>2</sub> = max<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup> | ||
- | Тогда МПИ (x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)/τ + Ax<sup>n</sup> = f, где τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub> — сходится, имеет место оценка ||x<sup>n | + | Тогда МПИ (x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)/τ + Ax<sup>n</sup> = f, где τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub> — сходится, имеет место оценка ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ρ||x<sup>n</sup> − x|| |
== Теорема о сходимости ПТИМ == | == Теорема о сходимости ПТИМ == | ||
Строка 350: | Строка 350: | ||
* x<sub>n</sub>/e<sub>1</sub>λ<sub>1</sub><sup>−n</sup> = e<sub>1</sub> + … + (c<sub>m</sub>/c<sub>1</sub>)(λ<sub>1</sub>/λ<sub>m</sub>)<sup>n</sup>e<sub>m</sub> | * x<sub>n</sub>/e<sub>1</sub>λ<sub>1</sub><sup>−n</sup> = e<sub>1</sub> + … + (c<sub>m</sub>/c<sub>1</sub>)(λ<sub>1</sub>/λ<sub>m</sub>)<sup>n</sup>e<sub>m</sub> | ||
- | == Метод обратных итераций со | + | == Метод обратных итераций со сдигом == |
* (A − αE)x<sub>n + 1</sub> = x<sub>n</sub> (5) | * (A − αE)x<sub>n + 1</sub> = x<sub>n</sub> (5) | ||
** n = 0, 1, …, x<sub>0</sub> — начальное приближение, α ∈ R | ** n = 0, 1, …, x<sub>0</sub> — начальное приближение, α ∈ R | ||
Строка 416: | Строка 416: | ||
N<sub>n</sub>(x) = f(x<sub>0</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) + … + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)…(x − x<sub>n − 1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, …, x<sub>n</sub>) | N<sub>n</sub>(x) = f(x<sub>0</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) + … + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)…(x − x<sub>n − 1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, …, x<sub>n</sub>) | ||
- | == Погрешность | + | == Погрешность инторполяционной формулы Ньютона == |
Погрешность та же самая, но записана внешне по-другому: | Погрешность та же самая, но записана внешне по-другому: | ||
Строка 422: | Строка 422: | ||
== Когда лучше использовать Ньютона, а когда — Лагранжа | == Когда лучше использовать Ньютона, а когда — Лагранжа | ||
- | * Ньютон удобен при постепенном добавлении узлов, когда их количество | + | * Ньютон удобен при постепенном добавлении узлов, когда их количество нефисировано |
* Лагранж удобен, когда количество узлов фиксировано, но они могут находиться в разных местах | * Лагранж удобен, когда количество узлов фиксировано, но они могут находиться в разных местах | ||