МОТП, Контрольная 2013

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Задача 1)
Строка 28: Строка 28:
Таким образом, при <math> x > 0.541 </math> классификатор отнесёт объект в класс <math> K_2 </math>, при <math> x < 0.541 </math> - в класс <math> K_1 </math>
Таким образом, при <math> x > 0.541 </math> классификатор отнесёт объект в класс <math> K_2 </math>, при <math> x < 0.541 </math> - в класс <math> K_1 </math>
 +
 +
[[Изображение:MOTP_2013_1.png]]
 +
 +
== Задача 2 ==
 +
 +
Имеется задача распознавания с 4-мя классами и одним признаком. Предполагается, что с использованием метода "Линейная машина" для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:
 +
 +
<math> f_1(x) = 4.8 - 2.3 x </math>
 +
 +
<math> f_2(x) = -4.6 - 2.6 x </math>
 +
 +
<math> f_3(x) = 4.5 - 2.3 x </math>
 +
 +
<math> f_4(x) = 4.2 - 0.4 x </math>
 +
 +
Требуется изобразить на графике области, соответствующие отнесению к каждому из четырех классов. Для нахождения требуемых областей, решим системы неравенств:
 +
 +
<math> (1)
 +
\begin{cases}
 +
f_1(x) > f_2(x) \\
 +
f_1(x) > f_3(x) \\
 +
f_1(x) > f_4(x)
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
4.8 - 2.3 x > -4.6 - 2.6 x \\
 +
4.8 - 2.3 x > 4.5 - 2.3 x \\
 +
4.8 - 2.3 x > 4.2 - 0.4 x
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
x > -31.3 \\
 +
4.8 > 4.5 \\
 +
x < 0.3
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
Таким образом, объект будет отнесён в класс 1 при <math> x \in (-31.3, 0.3). </math>
 +
 +
Аналогично:
 +
 +
<math> (2)
 +
\begin{cases}
 +
f_2(x) > f_1(x) \\
 +
f_2(x) > f_3(x) \\
 +
f_2(x) > f_4(x)
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
-4.6 - 2.6 x > 4.8 - 2.3 x \\
 +
-4.6 - 2.6 x > 4.5 - 2.3 x \\
 +
-4.6 - 2.6 x > 4.2 - 0.4 x
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
x < -31.3 \\
 +
x < -30.3 \\
 +
x < -4
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
Oбъект будет отнесён в класс 2 при <math> x \in (-\inf, -31.3). </math>
 +
 +
<math> (3)
 +
\begin{cases}
 +
f_3(x) > f_1(x) \\
 +
f_3(x) > f_2(x) \\
 +
f_3(x) > f_4(x)
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
4.5 - 2.3 x > 4.8 - 2.3 x \\
 +
4.5 - 2.3 x > -4.6 - 2.6 x \\
 +
4.5 - 2.3 x > 4.2 - 0.4 x
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
<math> x \in \empty </math>, поэтому никакой объект не будет отнесён к классу 3.
 +
 +
<math> (3)
 +
\begin{cases}
 +
f_4(x) > f_1(x) \\
 +
f_4(x) > f_2(x) \\
 +
f_4(x) > f_3(x)
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\begin{cases}
 +
x > 0.3 \\
 +
x > -4 \\
 +
x > 0.2
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 +
Oбъект будет отнесён в класс 4 при <math> x \in (0.3, +\inf). </math>
 +
 +
[[Изображение:MOTP_2013_2.png]]

Версия 09:05, 23 апреля 2013

Задача 1

Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному признаку. Предполагается, что значение признака x для объектов из классов K1, K2 распределено по закону Рэлея:

p(x|K_j) = \beta_j x e^{(-\frac{\beta_j}{2}x^2)}

Пусть β1 = 7.3 β2 = 1.3. Требуется найти области значений признака x, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.3 и 0.7.

Решение

По определению баесовского классификатора:

a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \lambda_{y} P_y p_y(x),

где x - классифицируемый пример, a(x) - классификатор, Y - множество классов (K1,K2), λy - цена ошибки (λ1 = λ2), Py - вероятность появления объекта класса y (априорная вероятность), py(x) - плотность распределения класса y в точке x.

Построим множество, на котором \lambda_{1} P_1 p_1(x) \lessgtr \lambda_{2} P_2 p_2(x). Для этого решим уравнение:

\lambda_{1} 0.3 p(x|K_1) \lessgtr \lambda_{2} 0.7 p(x|K_2)

0.3 \cdot 7.3 \cdot x e^{(-\frac{7.3}{2}x^2)} \lessgtr 0.7 \cdot 1.3 \cdot x e^{(-\frac{1.3}{2}x^2)}

e^{(-3x^2)} \lessgtr 0.4155

-3x^2 \lessgtr \ln(0.4155) \lessgtr -0.878

x \gtrless 0.541

Таким образом, при x > 0.541 классификатор отнесёт объект в класс K2, при x < 0.541 - в класс K1

Изображение:MOTP_2013_1.png

Задача 2

Имеется задача распознавания с 4-мя классами и одним признаком. Предполагается, что с использованием метода "Линейная машина" для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

f1(x) = 4.8 − 2.3x

f2(x) = − 4.6 − 2.6x

f3(x) = 4.5 − 2.3x

f4(x) = 4.2 − 0.4x

Требуется изобразить на графике области, соответствующие отнесению к каждому из четырех классов. Для нахождения требуемых областей, решим системы неравенств:

(1) \begin{cases} f_1(x) > f_2(x) \\ f_1(x) > f_3(x) \\ f_1(x) > f_4(x) \end{cases}

\begin{cases} 4.8 - 2.3 x > -4.6 - 2.6 x \\ 4.8 - 2.3 x > 4.5 - 2.3 x \\ 4.8 - 2.3 x > 4.2 - 0.4 x \end{cases}

\begin{cases} x > -31.3 \\ 4.8 > 4.5 \\ x < 0.3 \end{cases}

Таким образом, объект будет отнесён в класс 1 при x \in (-31.3, 0.3).

Аналогично:

(2) \begin{cases} f_2(x) > f_1(x) \\ f_2(x) > f_3(x) \\ f_2(x) > f_4(x) \end{cases}

\begin{cases} -4.6 - 2.6 x > 4.8 - 2.3 x \\ -4.6 - 2.6 x > 4.5 - 2.3 x \\ -4.6 - 2.6 x > 4.2 - 0.4 x \end{cases}

\begin{cases} x < -31.3 \\ x < -30.3 \\ x < -4 \end{cases}

Oбъект будет отнесён в класс 2 при x \in (-\inf, -31.3).

(3) \begin{cases} f_3(x) > f_1(x) \\ f_3(x) > f_2(x) \\ f_3(x) > f_4(x) \end{cases}

\begin{cases} 4.5 - 2.3 x > 4.8 - 2.3 x \\ 4.5 - 2.3 x > -4.6 - 2.6 x \\ 4.5 - 2.3 x > 4.2 - 0.4 x \end{cases}

x \in \empty , поэтому никакой объект не будет отнесён к классу 3.

(3) \begin{cases} f_4(x) > f_1(x) \\ f_4(x) > f_2(x) \\ f_4(x) > f_3(x) \end{cases}

\begin{cases} x > 0.3 \\ x > -4 \\ x > 0.2 \end{cases}

Oбъект будет отнесён в класс 4 при x \in (0.3, +\inf).

Изображение:MOTP_2013_2.png

Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%9C%D0%9E%D0%A2%D0%9F%2C_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_2013
Личные инструменты
Разделы