МОТП, Контрольная 2013
Материал из eSyr's wiki.
(→Решение) |
|||
Строка 168: | Строка 168: | ||
<math> \Sigma_2 = \begin{pmatrix} 0.187& 0.093 \\ 0.093& 0.187 \end{pmatrix}</math> | <math> \Sigma_2 = \begin{pmatrix} 0.187& 0.093 \\ 0.093& 0.187 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | <math> \left( \Sigma_1 + \Sigma_2 \right)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.312& 0.058 \\ 0.058& 0.532 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{0.163}\begin{pmatrix} 0.532& -0.058 \\ -0.058& 0.312 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} </math> | ||
+ | |||
+ | <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 2.9 \\ 1.6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -0.3 \\ -3.4 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3.2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8.63 \\ 8.4 \end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | [[Изображение:MOTP_2013_3.png]] | ||
+ | |||
+ | '''Ответ:''' <math> \begin{pmatrix} 8.63 \\ 8.4 \end{pmatrix} </math> | ||
{{Курс МОТП}} | {{Курс МОТП}} |
Версия 11:59, 23 апреля 2013
Содержание |
Задача 1
Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному признаку. Предполагается, что значение признака x для объектов из классов K1, K2 распределено по закону Рэлея:
Пусть β1 = 7.3 β2 = 1.3. Требуется найти области значений признака x, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.3 и 0.7.
Решение
По определению баесовского классификатора:
где x - классифицируемый пример, a(x) - классификатор, Y - множество классов (K1,K2), λy - цена ошибки (λ1 = λ2), Py - вероятность появления объекта класса y (априорная вероятность), py(x) - плотность распределения класса y в точке x.
Построим множество, на котором Для этого решим уравнение:
Таким образом, при x > 0.541 классификатор отнесёт объект в класс K2, при x < 0.541 - в класс K1
Задача 2
Имеется задача распознавания с 4-мя классами и одним признаком. Предполагается, что с использованием метода "Линейная машина" для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:
f1(x) = 4.8 − 2.3x
f2(x) = − 4.6 − 2.6x
f3(x) = 4.5 − 2.3x
f4(x) = 4.2 − 0.4x
Требуется изобразить на графике области, соответствующие отнесению к каждому из четырех классов.
Решение
Для нахождения требуемых областей, решим системы неравенств:
Таким образом, объект будет отнесён в класс 1 при
Аналогично:
Oбъект будет отнесён в класс 2 при
, поэтому никакой объект не будет отнесён к классу 3.
Oбъект будет отнесён в класс 4 при
Задача 3
Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков x1 и x2. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:
Класс 1:
Класс 2:
Решение
Перпендикуляр к прямой, разделяющей объекты двух классов, описывается уравнением:
где - матожидания объектов каждого класса, а Σi - ковариационная матрица.
Посчитаем матождиания:
Посчитаем ковариационные матрицы:
Ответ:
Математические основы теории прогнозирования
Материалы по курсу
Билеты (2009) | Примеры задач (2009) | Примеры задач контрольной работы (2013) | Определения из теории вероятностей