МОТП, Контрольная 2013

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 09:05, 23 апреля 2013; SkyHawk (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Задача 1

Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному признаку. Предполагается, что значение признака x для объектов из классов $K 1$ , $K 2$ распределено по закону Рэлея:

$p(x|K_j) = \beta_j x e^{(-\frac{\beta_j}{2}x^2)}$

Пусть $β 1 = 7.3$ $β 2 = 1.3.$ Требуется найти области значений признака x, соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.3 и 0.7.

Решение

По определению баесовского классификатора:

$a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \lambda_{y} P_y p_y(x),$

где $x$ - классифицируемый пример, $a (x)$ - классификатор, $Y$ - множество классов ( $K 1, K 2$ ), $λ y$ - цена ошибки ( $λ 1 = λ 2$ ), $P y$ - вероятность появления объекта класса $y$ (априорная вероятность), $p y (x)$ - плотность распределения класса $y$ в точке $x$ .

Построим множество, на котором $\lambda_{1} P_1 p_1(x) \lessgtr \lambda_{2} P_2 p_2(x).$ Для этого решим уравнение:

$\lambda_{1} 0.3 p(x|K_1) \lessgtr \lambda_{2} 0.7 p(x|K_2)$

$0.3 \cdot 7.3 \cdot x e^{(-\frac{7.3}{2}x^2)} \lessgtr 0.7 \cdot 1.3 \cdot x e^{(-\frac{1.3}{2}x^2)}$

$e^{(-3x^2)} \lessgtr 0.4155$

$-3x^2 \lessgtr \ln(0.4155) \lessgtr -0.878$

$x \gtrless 0.541$

Таким образом, при $x > 0.541$ классификатор отнесёт объект в класс $K 2$ , при $x < 0.541$ - в класс $K 1$

Задача 2

Имеется задача распознавания с 4-мя классами и одним признаком. Предполагается, что с использованием метода "Линейная машина" для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

$f 1 (x) = 4.8 - 2.3 x$

$f 2 (x) = - 4.6 - 2.6 x$

$f 3 (x) = 4.5 - 2.3 x$

$f 4 (x) = 4.2 - 0.4 x$

Требуется изобразить на графике области, соответствующие отнесению к каждому из четырех классов. Для нахождения требуемых областей, решим системы неравенств:

$(1) \begin{cases} f_1(x) > f_2(x) \\ f_1(x) > f_3(x) \\ f_1(x) > f_4(x) \end{cases}$