Редактирование: ВПнМ/Теормин

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Длина этой страницы составляет 92 килобайт. Страницы, размер которых приближается к 32 КБ или превышает это значение, могут неверно отображаться в некоторых браузерах. Пожалуйста, рассмотрите вариант разбиения страницы на меньшие части.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

== Моделирование и абстракция ==
=== Моделирование программ. Понятие состояния. Потенциальные и достижимые состояния. Требования к модели. Процесс построения модели. ===
[[Изображение:Verif1.png|400px|thumb|right|Схема верификации на моделях (''Лекция 2, слайд 3'')]]

'''Состояние программы''' - совокупность значений переменных и управления, связанных с некоторой моделью программы.

'''Модель''' - упрощённое описание реальности, выполненное с определенной целью.
* с каждым объектом может быть связано несколько моделей
* каждая модель отражает свой аспект реальности

Аспекты модели:
* ''простота'' - модель должна быть проще, чем реальность
* ''корректность'' - не расходиться с реальностью
* ''адекватность'' - соответствовать решаемой задаче

Построение модели
# формализация требований (постановка задачи моделирования)
# выбор языка моделирования
# абстракция системы до модели с учётом требований
[[Изображение:Verif2.png|400px|thumb|center|Построение модели в строгом смысле (''Лекция 2, слайд 38'')]]

Состояние называется достижимым, если существует вычисление программы, в котором оно присутствует

=== Моделирование программ. Размеченные системы переходов. Детерминизм и недетерминизм. Вычисления и трассы. Свойства линейного времени. Выполнимость свойства на трассе.===

'' Лекция 2, Слайды 39-50 ''

====Размеченная система переходов (LTS)====

<math>TS = \langle S, Act, \overset{a}{\rightarrow} ,s_0, AP, L \rangle </math>
* S - множество состояний
* Act - множество действий
* '' <math>\tau</math> - невидимое действие ''
* <math>\overset{a}{\rightarrow} \subseteq S \times Act \times S </math> - тотальное отношение переходов. Тотальность означает, что из каждого состояния ведёт какое-то действие.
* <math>s_0 \in S</math> - начальное состояние, либо <math>I</math> - множество начальных состояний
* AP - множество атомарных высказываний 
* <math>L:S \rightarrow 2^{AP}</math> - функция разметки

S, Act - конечные или счётные множества

<math>\langle s, a, s' \rangle \in \overset{a}{\rightarrow} \equiv s \overset{a}{\rightarrow} s' </math>

''Пример LTS: Лекция 2, слайды 40-41''

'''Прямые потомки'''
* <math>Post(s, a) = \{s' \in S, s \overset{a}{\rightarrow} s'\}</math> - такие состояния s', которые непосредственно вытекают из s через переход a
* <math>Post(s) = \bigcup_{a \in Act} Post(s, a)</math> - все возможные состояния s', которые непосредственно вытекают из s

Система <math>TS = \langle S, Act, \overset{a}{\rightarrow} ,I, AP, L \rangle</math> '''детерминирована''':
* '''по действиям''' тогда и только тогда, когда 
** <math>|I| \leqslant 1</math>
** <math>\forall s \in S, \forall a \in Act \Rightarrow |Post(s, a)| \leqslant 1</math> (количество потомков не больше одного) 
* '''по атомарным высказываниям'''
** <math>|I| \leqslant 1</math>
** <math>\forall s \in S, \forall A \in 2^{AP} ~ \Rightarrow ~ |Post(s) \cap \{s' \in S, L(s') = A\}| \leqslant 1</math> (количество '''одинаково размеченных''' потомков не больше одного)

'''Недетерминизм''' - это фича! Полезен для:
* моделирования параллельного выполнения в режиме чередования (интерливинга)
** позволяет не указывать скорость выполнения процессов
* моделирования прототипа системы
** не ограничивает реализацию заданным порядком выполнения операторов
* построения абстракции реальной системы
** модель может быть построена по неполной информации

====Вычисления====
# '''Конечный фрагмент вычисления <math>\sigma</math>''' системы переходов TS - это конечная последовательность чередующихся состояний и действий, заканчивающаяся состоянием: <math>\sigma = s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots a_n s_n, \forall i \in [0,n) \Rightarrow s_i \overset{a_{i+1}}{\rightarrow} s_{i+1}</math>
# '''Бесконечный (максимальный) фрагмент вычисления <math>\rho</math>''' - <math>\rho = s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots, \forall i \geqslant 0 \Rightarrow s_i \overset{a_{i+1}}{\rightarrow} s_{i+1}</math>
# '''Начальный фрагмент вычисления''' - фрагмент вычисления, для которого <math>s_0 \in I</math>
# '''Вычисление''' - начальный максимальный фрагмент вычисления (описывает последовательность состояний и действий)

'''Достижимое состояние''' (из начального) в системе переходов TS - такое состояние <math>s \in S</math>, для которого существует конечный фрагмент вычисления <math>s_0 a_1 s_1 a_2 s_2 \dots a_n s_n = s</math>

'''Reach(TS)''' - множество всех достижимых состояний в TS

'''Трасса''' <math>tr = L(s_0) L(s_1) \dots \in (2^{AP})^\omega</math>

====Свойства линейного времени====
* Свойство <math>\varphi</math> определяет набор допустимых трасс: <math>\varphi \subseteq (2^{AP})^\omega</math>
* Система переходов TS удовлетворяет свойству линейного времени <math>\varphi</math>, если: <math>TS \models \varphi ~~ \Leftrightarrow ~~ Traces(TS) \subseteq \varphi</math>
* по определению программа удовлетворяет свойству &phi;, если её система переходов удовлетворяет этому свойству: <math>P \models \varphi ~~ \equiv ~~ TS(P) \models \varphi </math> -

=== Моделирование программ. Графы программ. Статическая и операционная семантика. ===
'''Граф программы''' – формальное описание текста программы.

* <math>D_p</math> -- единый абстрактный домен данных.
* <math>P</math> -- программа. 
** <math>V_p</math> -- множество переменных программы(Var). 
* <math>v \in Var</math>
** <math> dom(v) = D_p^v \subseteq D_p</math> -- каждая переменная принадлежит какому-либо домену
* <math>n</math> -- подстановка. <math>n: V_p \rightarrow D_p, \forall v \in Var</math> <math>n(v) \in D_p^v</math>
* <math>Cond(V_p)</math> -- Набор булевых условий над <math>V_p</math>
** формулы пропозициональной логики
** условия на переменные
* <math>Eval(Var)</math> -- множество значений переменных. Собственно, это и есть подстановка.
* Эффект операторов: <math>Effect: Act \times Eval(Var) \rightarrow Eval(Var)</math>

'''Граф программы:'''

<math> PG= \langle Loc , Act , Effect ,\rightarrow, Loc_0, g_0 \rangle </math>

* <math>Loc</math> -- множество точек
** <math>Loc_0 \in Loc</math> -- множество начальных точек
* <math>Act</math> -- множество действий
* <math>\rightarrow \subseteq Loc \times (Cond(V_p) \times Act) \times Loc </math> -- отношение перехода (<math>Cond(V_p) </math> -- это фактически страж оператора )
* <math>Effect</math> -- функция эффекта
* <math>g_0 \in Cond(V_p)</math> -- начальное условие

'''Получение TS из PG: раскрутка графа'''
* Состояние в TS -- это точка программы и текущая подстановка
* Начальное состояние -- исходная точка, удовлетворяющая начальному условию
* Атомарные высказывания в TS:
** находимся в точке программы l 
** значение переменной x принадлежит некоторому множеству и это множество является подмножеством множеств значений этой переменной.
* Состояния <math>\langle l,n \rangle</math> размечаются высказыванием о том, что мы находимся в точке программы l и всеми высказываниями, истинными в n
* Если в графе программы есть дуга из l в <math>l'</math> со стражем g и действием a и в некоторой подстановке n выполняется страж g, то в системе переходов, которая соответствует этой программе будет присутствовать дуга из состояния <math>\langle l,n\rangle</math> в состояние <math>\langle l', Effect(a,n)\rangle</math> по действию a.

'''Системы переходов графов программ'''
Операционная семантика -- строгое описание того как из графа программы получить ее систему переходов. Описывается это все при помощи правил вывода.
TS(PG) -- система переходов графа программы <math> PG= \langle Loc , Act , Effect ,\rightarrow, Loc_0, g_0 \rangle </math> задается сигнатурой <math> \langle S, Act, \rightarrow, I, AP, L \rangle </math>

* <math>S = Loc \times Eval(V_p)</math> (декартово произведение точек программы на всевозможные подстановки)
* <math>\rightarrow : S \times Act \times S </math> с соответствующим правилом вывода <math> \frac{l \overset{g:a}{\rightarrow} l' \and (n \models g) }{\langle l,n \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle l',Effect(a,n) \rangle }</math>

* Множество начальных состояний системы переходов описывается как множество состояний, в которых точка программы принадлежит начальным точкам, а на подстановках выполняется начальное условие графа программы:
** <math>I=\{\langle l , n \rangle : l \in Loc_0 , n \models g_0 \}</math>
* Множество атомарных высказываний -- это объединение множества точек программы и всевозможных булевых высказываний над переменными программы:
** <math>AP=Loc \cup Cond(V_P) </math>
* Состояния вида <math>\langle l,n \rangle</math> размечаются высказываниям о точке программы, в которой мы находимся и всеми высказываниями из множества всевозможных высказываний, которые верны в этой подстановке:
** <math>L(\langle l , n \rangle)= \{l\} \cup \{g \in Cond(V_P): n \models g \}.</math>

'''Пример: Лекция 4, слайд 16'''

'''Статическая и операционная семантика'''

'''Cтатическая семантика''' – набор ограничений, которым должна удовлетворять структура программы; 
'''Операционная семантика''' – понятие состояния программы и изменение состояния в ходе работы программы; то, как по графу строится LTS.
(См. Л.5, сл. 15, 2010 )

=== Параллелизм. Чередование систем переходов. ===
''Лекция 4, слайды 21-24''

* Действия независимых процессов чередуются.
* Порядок выполнения процессов не известен.

'''Чередование:'''
* эффект от параллельного выполнения независимых действий a и b равен эффекту от их последовательного выполнения в произвольном порядке:
** <math>Effect(a ~|||~ b,n) = Effect((a;b)+(b;a),n)</math>
*** ||| -- оператор чередования
*** ; -- оператор последовательного выполнения
*** + -- оператор недетерминированного выбора

''Пример: Лекция 4, слайд 23''

'''Чередование систем переходов'''

Пусть <math>TS_i = \langle S_i, Act_i, \rightarrow_i, AP_i, I_i, L_i \rangle ~~,~~ i \in \{1,2\}</math>

Тогда чередование этих систем <math>TS_1 ~|||~ TS_2= \langle S_1 \times S_2, Act_1 \cup Act_2, \rightarrow, AP_1 \cup AP_2, I_1 \times I_2, L \rangle</math>, где
* <math>L(s_1, s_2)= L_1(s_1) \cup L_2(s_2) </math>
* оператор <math>\rightarrow</math> определяется как 
** <math>\frac{s_1 \rightarrow_1 s_1^'}{(s_1, s_2) \rightarrow (s_1^', s_2)}</math>
** <math>\frac{s_2 \rightarrow_2 s_2^'}{(s_1, s_2) \rightarrow (s_1, s_2^')}</math>

=== Параллелизм. Чередование графов программ. Случаи без разделяемых переменных и с разделяемыми переменными. ===
'' Лекция 4, слайды 25—28 ''

Для графов программ <math>PG_1</math> (над <math>V_1</math>) и <math>PG_2</math> (над <math>V_2</math>) без разделяемых переменных (т. е. <math>V_1 \cap V_2 = \varnothing</math>):
* формула <math>TS(PG_1)~|||~TS(PG_2)</math> достоверно описывает параллельную композицию <math>PG_1</math> и <math>PG_2</math>
* в случае с разделяемыми переменными это не так (см. лекцию 4, слайд 26).

Пусть
:<math>PG_i = \langle Loc_i, Act_i, Effect_i, \rightarrow_i, Loc_{0,i}, g_{0,i} \rangle,~i \in \{1, 2\}.</math>
Граф <math>PG_1~|||~PG_2</math> над <math>V_1 \cup V_2</math> определяется так:
:<math>PG_1~|||~PG_2 = \langle Loc_1 \times Loc_2, Act_1 \cup Act_2, Effect, \rightarrow, Loc_{0,1} \times Loc_{0,2}, g_{0,1} \land g_{0,2} \rangle,</math>
где отношение перехода <math>\rightarrow</math> определяется следующими правилами вывода:
:<math>l_1 \overset{g:\alpha}{\rightarrow}_1 l'_1 \over \langle l_1, l_2 \rangle \overset{g:\alpha}{\rightarrow} \langle l'_1, l_2 \rangle</math> и <math>l_2 \overset{g:\alpha}{\rightarrow}_2 l'_2 \over \langle l_1, l_2 \rangle \overset{g:\alpha}{\rightarrow} \langle l_1, l'_2 \rangle,</math>
а <math>Effect(\alpha,~\eta) = Effect_i(\alpha,~\eta),</math> если <math>\alpha \in Act_i.</math>

''Пример: лекция 4, слайд 28.'' В указанном примере <math>TS(PG_1)~|||~TS(PG_2) \neq TS(PG_1~|||~PG_2)</math>

=== Параллелизм. Синхронный параллелизм. Рандеву. ===
* распределённые программы выполняются параллельно
* в распределённой программе нет разделяемых переменных

Передача сообщений в распределённых программах:
* cинхронная передача сообщений (рандеву)
* асинхронная передача сообщений (каналы)

Синхронный обмен сообщениями:
* Процессы вместе выполняют синхронизированные действия
* Взаимодействие процессов - одновременно

'''Рандеву'''
* <math>TS_i = \langle S_i, Act_i, \overset{a}{\rightarrow}_i ,I_i, AP_i, L_i \rangle ~~~ i=\{1,2\}</math>
* <math>H \subseteq Act_1 \cap Act_2</math> -- набор синхронизированных действий.
** действия из H должны быть синхронизированны
** действия не из H независимы и могут чередоваться

Тогда <math>TS_1 ||_H TS_2= \langle S_1 \times S_2, Act_1 \cup Act_2, \rightarrow, I_1 \times I_2, AP_1 \cup AP_2, L \rangle</math>, где 
* <math>L(\langle s_1, s_2 \rangle) = L_1(s_1) \cup L_2(s_2)</math>
* <math>\rightarrow</math> определяется как:
** интерливинг для <math>\alpha \not\in H~:~~~ \frac{s_1 \overset{a}{\rightarrow}_1 s_1'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle s_1', s_2 \rangle}</math> и <math>\frac{s_2 \overset{a}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle s_1, s_2' \rangle}</math>
** рандеву для <math>\alpha \in H~:~~~ \frac{s_1 \overset{a}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{a}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{a}{\rightarrow} \langle s_1', s_2' \rangle}</math>

'' Пример рандеву: Лекция 4, слайд 32 ''

'''Синхронный параллелизм'''
* <math>TS_i = \langle S_i, Act_i, \overset{a}{\rightarrow}_i ,I_i, AP_i, L_i \rangle ~~~ i=\{1,2\}</math>
* <math>Act_1 \times Act_2 \rightarrow Act ~~ : ~~ (\alpha, \beta) \rightarrow \alpha * \beta</math>

Тогда <math>TS_1 \times TS_2 = \langle S_1 \times S_2, Act, \rightarrow, I_1 \times I_2, AP_1 \cup AP_2, L \rangle </math>, где 
* <math>L(\langle s_1, s_2 \rangle) = L_1(s_1) \cup L_2(s_2)</math>
* <math>\rightarrow</math> определяется как: <math>\frac{s_1 \overset{\alpha}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{\beta}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{\alpha * \beta}{\rightarrow} \langle s_1', s_2 \rangle}</math>

=== Параллелизм. Асинхронный параллелизм. Системы с каналами. Операционная семантика. ===

''Лекция 4. Слайды 36-39, 43-46 ''

* <math>c \in Chan</math> -- Процессы взаимодействуют с помощью '''каналов''', представляющих собой FIFO буфера
* <math>dom(c)</math> -- Каналы типизированы по передаваемым сообщениям 
* <math>cap(c)</math> -- ёмкость канала. если <math>cap(c) = 0</math>, то взаимодействие сводится к рандеву
* действия по обмену сообщениями:
** <math>c!v</math> -- запись <math>v</math> в конец канала <math>c</math>. Выполняется только если буфер не полон (<math> < cap(c)</math>)
** <math>c?x</math> -- чтение в <math>x</math> из начала канала <math>c</math>. Выполняется только если буфер не пуст (<math> > cap(c)</math>)
** формально <math>Comm = \{c!v, c?x ~ | ~ c \in Chan, v \in dom(c), x \in V_p, dom(c) \subseteq dom(x)\}</math>

Системы с каналами. 
* Граф программы <math>PG</math> над <math>(Var, Chan)</math> задаётся <math>PG = \langle Loc, Act, Effect, \rightarrow, Log_0, g_0 \rangle</math>, где <math>\rightarrow \subseteq Loc \times (Cond(Var) \times Act) \times Loc ~ \cup ~ Loc \times Comm \times Loc</math>
* Система с каналами <math>CS</math> над <math>\left(\cup_{1 \leqslant i \leqslant n} PG_i, Chan\right)</math> задаётся как <math>CS = \left[PG_1 | PG_2 | \dots | PG_n\right]</math>, где <math>PG_i</math> — граф программы над <math>(Var_i, Chan)</math>

При асинхронной передаче сообщений (при <math>cap(c) > 0</math>):
* процесс <math>P_i</math> может выполнить <math>l_i \overset{c!v}{\rightarrow} l'_i</math>, только если в <math>c</math> хранится меньше <math>cap(c)</math> сообщений;
* процесс <math>P_j</math> может выполнить <math>l_j \overset{c?x}{\rightarrow} l'_j</math>, только если <math>c</math> не пуст, после чего первый элемент <math>v</math> извлекается из <math>c</math> и присваивается <math>x</math> (атомарно).

'''Оценка <math>\xi</math> значения канала''' <math>c</math> — это отображение канала на последовательность значений <math>\xi: Chan \rightarrow dom(c)^*</math>, такое что длина последовательности не превосходит ёмкости канала <math>len(\xi(c)) \leq cap(c)</math>, и при этом <math>\xi(c)=v_1 v_2 \dots v_k</math> означает, что <math>v_1</math> — верхнее сообщение в буфере.
:<math>\xi[c = v_1 v_2 \dots v_k](c') = \left\{ \begin{array}{cc}
\xi(c'), & c \neq c' \\
v_1 v_2 \dots v_k, & c = c' \\
\end{array} \right.</math> ''Кто понимает смысл этой хренотени, опишите, плз. [[Участник:Overrider|Overrider]] 18:28, 22 мая 2009 (UTC)''

Исходная оценка <math>\xi_0(c) = \epsilon, \forall c \in Chan</math>

''Операционная семантика: лекция 4, слайды 44—46''

====операционная семантика====

Пусть <math>CS = \left[PG_1 | PG_2 | \dots | PG_n\right]</math> – система с каналами над <math>(Chan, Var)</math>, и

<math>PG = \langle Loc, Act, Effect, \rightarrow, Log_0, g_0 \rangle</math>

Система переходов <math>TS(CS)</math> описывается сигнатурой

<math>TS(CS) = \langle S, Act, \rightarrow, I , AP, L \rangle </math>, где

<math>S = ( Loc_1 \times \dots \times Loc_n ) \times Eval(Var) \times Eval(Chan)</math>

<math>Act = ( \cup_{0 \leqslant i \leqslant n} Act_i ) ~ \cup ~ \tau </math>

<math>I = \{
\langle 
 l_1, \dots, l_n, \eta, \xi
\rangle
|
\forall i ( l_i \in Loc_{0i} \and \eta \models g_0 ) \and \forall c ( \xi_0(c) = \epsilon )
 \}</math>

<math>AP = ( \cup_{0 \leqslant i \leqslant n} Loc_i ) \cup Cond(Var)</math>

<math>L(
\langle 
 l_1, \dots, l_n, \eta, \xi
\rangle
) = 
\{
 l_1, \dots, l_n 
\}
\cup
\{
 g \in Cond( Var ) | \eta \models g 
\}</math>

'''Правила вывода'''
<ul>
<li> интерливинг для <math> \alpha \in Act_i </math> 
<math> 
\frac
{l_i \overset{g:\alpha}{\rightarrow} l_i' \and n \models g }
{
 \langle 
 l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi 
 \rangle 
 \overset{\alpha}{\rightarrow} 
 \langle 
 l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta', \xi 
 \rangle 
}
</math>

</li>
<li> Синхронная передача сообщений через <math>c \in Chan, cap(c) = 0</math>

<math> 
\frac
{
 l_i \overset{c?x}{\rightarrow} l_i' \and 
 l_j \overset{c!v}{\rightarrow} l_j' \and 
 i \neq j
}
{
 \langle 
 l_1, \dots , l_i, \dots, l_j, \dots , l_n , \eta, \xi 
 \rangle 
 \overset{\alpha}{\rightarrow} 
 \langle 
 l_1, \dots, l_i', \dots, l_j', \dots , l_n , \eta', \xi 
 \rangle 
}
</math>

</li>
<li> 

 Асинхронная передача сообщений через <math>c \in Chan, cap(c) \neq 0</math>

<ul>
<li> 
 
 получить значение по каналу c и присвоить переменной x:

<math> 
\frac
{
 l_i \overset{c?x}{\rightarrow} l_i' \and
 len(\xi(c))=k>0) \and
 \xi(c)=v_1 \dots vk
}
{
 \langle 
 l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi 
 \rangle 
 \overset{c?x}{\rightarrow} 
 \langle 
 l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta', \xi' 
 \rangle 
}
</math>,

где 
 <math>
 \eta' = \eta[x=v_1], \xi'=\xi[c=v_2 \dots v_k ]
 </math>

</li>

<li> 
 
 передать значение <math>v \in dom(c) </math> по каналу c:
 

<math> 
\frac
{
 l_i \overset{c!v}{\rightarrow} l_i' \and
 len(\xi(c))=k<cap(c)) \and
 \xi(c)=v_1 \dots vk
}
{
 \langle 
 l_1, \dots , l_i, \dots , l_n , \eta, \xi 
 \rangle 
 \overset{c!v}{\rightarrow} 
 \langle 
 l_1, \dots, l_i', \dots, l_n , \eta, \xi' 
 \rangle 
}
</math>,


 где 
 <math>
 \xi'=\xi[c=v_1 \dots v_k v ]
 </math>

</li>
</ul>
</li>
</ul>

=== Абстракция. Абстракция трасс. Абстракция системы переходов. Необходимое и достаточное условие корректности LTS модели. ===

Представим трассу в форме интерпретации I: <math>I(tr) = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi\rangle</math>
* <math>\mathbb{N}</math> - множество натуральных чисел
* <math>\leqslant</math> - отношение порядка на <math>\mathbb{N}</math>
* <math>\xi: \mathbb{N} \times AP \rightarrow \{true, false\}, ~~ \forall n>0, p \in AP ~~ \Rightarrow ~~ \xi(n, p) = true \Leftrightarrow p \in L(s)</math> (для каждого порядкового номера говорит истенен или ложен заданный на нем предикат)

Рассмотрим трассы tr и tr' такие, что
* <math>I(tr) = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi\rangle, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP = \{true, false\}</math>
* <math>I(tr') = \langle\mathbb{N}, \leqslant, \xi'\rangle, ~~ \xi: \mathbb{N} \times AP' = \{true, false\}</math>

Будем говорить, что трасса tr' является '''абстракцией трассы''' tr (<math>tr \prec tr'</math>), если 
# <math>AP' \subseteq AP</math>
# <math>\exists \alpha : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> такое, что 
#* <math>\alpha</math> - неубывающая функция: <math>\forall n,k \in \mathbb{N}, n \leqslant k ~~ \Rightarrow ~~ \alpha(n) \leqslant \alpha(k) </math>
#* <math>\forall n \in \mathbb{N}, p \in AP' ~~ \Rightarrow ~~ \xi(n, p) = \xi'(\alpha(n), p)</math>

Пример абстракции трассы: Лекция 2, слайд 53

'''Определение.''' Пусть P – система, φ – произвольное свойство линейного времени. '''Корректной моделью ''' P называется такая М, что:
<math> M \models \phi \Rightarrow P \models \phi </math>.
''(позволяет проверять свойства программы на её модели )''

''' Необходимое и достаточное условие корректности модели:''' 
Модель <math>M</math> системы <math>P</math> корректна тогда и только тогда, когда <math>\forall tr \in Traces(TS(P)) ~ \exists tr' \in Traces(TS(M)) ~ : ~ tr \prec tr'</math>. 
''(для проверки такого условия нужно рассмотреть все трассы исходной системы, допускает, что в модели
больше состояний )''

=== Абстракция. Абстракция системы переходов. Достаточное условие корректности LTS модели. Адекватность LTS модели. ===
Абстракция системы переходов  -- картинка на 4 слайде 3-й лекции.

'''Достаточное условие корректности LTS модели.'''

Пусть у нас имеются две системы переходов, <math>TS^1</math> и <math>TS^2</math> -- для системы и модели соответственно:

<math> TS^i = \langle S^i, Act^i, \rightarrow_i, I^i, AP^i, L^i \rangle </math>

Достаточное условие корректности:
* Алфавит предикатов модели включен в алафвит предикатов системы: <math>AP^2 \sube AP^1 </math>
* Задано отображение <math>a: S^1 \rightarrow S^2</math>. На отображение накладываются следующие условия:
** Оно преобразует начальное состояние системы в начальное состояние модели: <math>s^2_0 = a(s^1_0)</math>
** Каждому переходу из системы должен соответствовать переход в модели: <math>s^1_1 \rightarrow_1 s^1_2 ~ \Rightarrow ~ a(s^1_1) \rightarrow_2 a(s^1_2)</math>
* Метки на состояниях модели должны состоять только из предикатов модели: <math>\forall s \in S^1: L^2(a(s)) = L^1(s) \cap 2^{AP^2}</math>

Модель называется '''адекватной''', если:
* Атомарные высказывания, в терминах которых задаются свойства, присутствуют в разметке модели. ''(Необходимое условие)''
* Из нарушения свойства на модели следует, что оно нарушается и на исходной системе. ''(Достаточное условие)''

'''Необходимое условие адекватности модели свойствам правильности''': алфавит предикатов свойств правильности включен в алфавит предикатов модели — <math>AP_\phi \subseteq AP_M</math>. Условие не является достаточным (см. примеры, лекция 3, слайды 4—5).

=== Абстракция. Абстракция графов программ. Отношение слабой симуляции. ===
Лекция 10, слайды 8 - 11

Программа PG' ''корректно моделирует'' программу PG тогда и только тогда, когда система переходов TS(PG') корректно моделирует систему переходов TS(PG).

Будем говорить, что PG' моделирует PG, если
* в PG' присутствуют переменные, соответствующие наблюдаемым переменным PG
* все действия PG, влияющие на наблюдаемые переменные, отражены в модели (наблюдаемые операторы)
* модель корректно воспроизводит возможные последовательности изменения значений наблюдаемых переменных, присутствующих в PG

'''Отношение слабой симуляции''' не сохраняет количество шагов между состояниями. В связи с этим, не сохраняются свойства, не инвариантные к
прореживанию (LTL: оператор neXt).

== Логика LTL, автоматы Бюхи ==

=== Свойства правильности. Формулирование требований правильности программы. Двойственность. Типы свойств. ===
''Лекция 5, слайды 2-14.''

'''Требования правильности''' — утверждения о возможных и невозможных вариантах выполнения программы.

Двойственность :
* если какое-то утверждение невозможно, то обратное — неизбежно
* если какое-то утверждение неизбежно, то обратное — невозможно
* при помощи логики от одного можно переходить к другому при помощи отрицания

Способы описания свойств правильности:
* свойства достижимых состояний (свойства безопасности)
* свойства последовательности состояний (свойства живучести)
* в Promela:
** свойства состояний
*** [http://en.wikipedia.org/wiki/Assertion_%28computing%29 asserts]:
**** локальные ассерты процессов
**** [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82#.D0.98.D0.BD.D0.B2.D0.B0.D1.80.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D1.82.D1.8B_.D0.B2_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.BC.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B8 инварианты] системы процессов
*** метки терминальных состояний
**** задаём допустимые точки останова прочесса
** свойства последовательностей состояний
*** метки прогресса — чтобы найти циклы бездействия
*** утверждения о невозможности (never claims) — например, LTL формулы
*** трассовые ассерты — используются для описания правильных последовательностей выполнения операторов отправки и приема сообщения

=== Свойства правильности. Свойства безопасности и живучести. Проверка таких свойств. Примеры свойств. ===

Типы свойств:
* свойства безопасности
** ничего плохого никогда не произойдет
** пример: инвариант системы (например, x всегда меньше y);
** задача верификатора -- найти те вычисления, которые ведут к нарушению безопасности.
* свойства живучести
** рано или поздно произойдет что-то хорошее
** пример: “отзывчивость” (например, если отправлен запрос, то рано или поздно будет сгенерирован ответ)
** задача верификатора – найти вычисления, в которых это “хорошее” может откладываться до бесконечности.
'''ps'''. автор терминов – Лесли Лампорт; см. ''Лекция 5, слайд 4''.

=== Автоматы Бюхи. Конечные автоматы. Проход автомата. Язык автомата. ===
''Лекция 6, слайды 8 - 15''

'''Конечный автомат''' 
описывается сигнатурой: <math>\langle S, s_0, L, F, T\rangle</math>, где

* S -- множество сотояний
* <math>s_0 \in S </math> -- множество начальных состояний
* L -- конечное множество меток
* <math>F \subseteq S </math> -- множество терминальных состояний
* <math>T \subseteq S \times L \times S</math> -- отношение перехода на состояниях
'''
Детерминизм и недетерминизм'''
 
Конечный автомат называется '''детерминированным''', если по метке и исходному состоянию можно однозначно определить целевое состояние:
<math>\forall s \in S, \forall l \in L: ((s, l, s_1) \in A.T \and (s, L, s_2) \in A.T ~ \Rightarrow ~ s_1 = s_2) </math>

В противном случае автомат называется '''недетерминированным'''.

'''Проходом a конечного автомата''' <math>\langle S,s_0,L,F,T \rangle</math> называется такое ''упорядоченное'' и, возможно, бесконечное множеств переходов из T:
<math>a=\langle (s_0, l_0, s_1),(s_1, l_1, s_2), ... \rangle ~~ \forall i, i \geqslant 0;~ (s_i, l_{i}, s_{i+1}) \in T</math>

'''Допускающим проходом''' конечного автомата A называется конечный проход a, финальный переход которого 
(<math>s_{n-1},l_{n-1},s_n)</math> ведёт в терминальное состояние.

'''Языком автомата A''' называется множество слов в алфавите A.L, соответствующих допускающим проходам автомата А

=== Автоматы Бюхи. Омега-допускание. Расширение автоматов Бюхи. ===
''Лекция 6, слайды 19-20''

Для любого бесконечного прохода <math>\sigma</math> конечного автомата А можно выделить два последовательных отрезка проходов:
* <math>\sigma^{+}</math> -- конечный отрезок прохода <math>\sigma</math>, включающий в себя множество состояний, встречающихся конечное число раз
* <math>\sigma^\omega</math> -- бесконечный хвост прохода <math>\sigma</math>, включающий в себя множество состояний, встречающихся бесконечное число раз

'''Допускающий проход по Бюхи''' (<math>\omega</math>-допускание) конечного автомата A называется такой ''бесконечный проход'', в котором по крайней мере одно терминальное состояние встречается бесконечное число раз: <math>\exists i \geqslant 0, (s_{i-1}, l_{i-1}, s_i) \in \sigma ~~ : ~~ (s_{i} \in A.F) \and (s_{i} \in \sigma^\omega) </math>

Расширение автоматов Бюхи.
* добавляем алфавит автомата меткой <math>\varepsilon</math>
* все конечные проходы расширяем до бесконечности меткой <math>\varepsilon</math>

Примечание. При помощи автоматов Бюхи удобно проверять свойства живучести.

=== Логика LTL. Синтаксис LTL. Семантика выполнимости формул. Сильный и слабый until. ===
'' Лекция 6, слайды 30 - 35''

Особенности LTL:
* может использоваться для описания свойств как живучести, так и безопасности
* описывает свойства, которым должны удовлетворять линейные последовательности наблюдаемых состояний - трассы
* семантика LTL определена на бесконечных автоматах Бюхи. Для конечных проходов необходимо использовать расширение автомата.

Формула в LTL '''f::='''
* '''p, q, ... ''' — свойства состояний, включая '''true''' и '''false'''
* '''(f)''' — группировка при помощи скобок
* '''<math>\alpha ~ f</math>''' — унарные операторы
* '''<math>f_1 ~ \beta ~ f_2</math>''' — бинарные операторы

Операторы в LTL
* унарные
** <math>\Box</math> ([]) — всегда в будущем, т.е. <math>s_j \models \Box f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \forall j, j \geqslant i: ~ s_j \models f</math>
** <math>\Diamond</math> (<>) — в конце концов, т.е. <math>s_j \models \Diamond f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \exists j, j \geqslant i: ~ s_j \models f</math>
** <math>X</math> (X) — в следующем состоянии, т.е. <math>s_j \models X f ~~~ \Leftrightarrow ~~~ i: ~ s_{j+1} \models f</math>
** <math>\neg</math> (!) — логическое отрицание
* бинарные
** <math>\wedge</math> (&&) — логическое И
** <math>\vee</math> (||) — логическое ИЛИ
** <math>\rightarrow</math> (->) — логическая импликация
** <math>\leftrightarrow</math> (<->) — логическая эквивалентность
** <math>U</math> (U) — до тех пор, пока (until)

====Выполнимость формул:====
* Задаётся последовательность состояний прохода <math>\sigma: s_0, s_1, s_2, \dots</math>
* <math>\forall i, i \geqslant 0, ~ \forall p </math> определена выполнимость <math> p </math> в <math> s_i </math>
* Семантика LTL:
** <math>\sigma \models f \Leftrightarrow s_0 \models f</math>
** <math>s_i \models \Box f \Leftrightarrow \forall j, j \geqslant i: s_j \models f</math>
** <math>s_i \models \Diamond f \Leftrightarrow \exists j, j \geqslant i: s_j \models f</math>
** <math>s_i \models Xf \Leftrightarrow s_{i+1} \models f </math>
** '''Слабый Until:'''
*** всегда e, до тех пор, пока не f, при этом не факт, что f наступает (тогда всегда e)
*** <math>s_i \models e \cup f ~~ \Leftrightarrow ~~ s_i \models f \vee (s_i \models e \wedge s_{i+1} \models e \cup f)</math>
** '''Сильный Until:'''
*** всегда e, до тех пор, пока не f, при этом f обязательно должно наступить
*** <math>s_i \models e U f ~~ \Leftrightarrow ~~ \begin{cases}
\exists j, j \geqslant i: ~ s_j \models f \\
\forall k, i \leqslant k < j: ~ s_k \models e
\end{cases}</math>

=== Логика LTL. Основные типы свойств LTL. Цикличность, стабильность, инвариант, гарантия, отклик, приоритет, корреляция. ===
'' Лекция 6, Слайды 38-39 ''

{|
 |+ Распространенные LTL-формулы
 |-
 ! Формула !! Описание !! Тип ||
 |-
 | <math>\Box p</math> || всегда p || ''инвариант'' ||
 |-
 | <math>\diamond p</math> || рано или поздно p || ''гарантия'' ||
 |-
 | <math>p \rightarrow \diamond q</math> || если p, то рано или поздно q || ''отклик'' ||
 |-
 | <math>p \rightarrow q U r</math> 
 | если p то затем постоянно q до тех пор, 
пока рано или поздно не наступит r 
 | ''приоритет''
 |-
 | <math>\Box\diamond p</math> || всегда рано или позндно будет p || ''цикличность (прогресс)'' ||
 |-
 | <math>\diamond\Box p</math> || рано или позндно всегда будет p || ''стабильность (бездействие)'' ||
 |-
 | <math>\diamond p \rightarrow \diamond q</math> || если рано или поздно p, то рано или поздно q || ''корреляция'' ||
 |}

=== Логика LTL. Эквивалентные преобразования формул LTL. ===
'' Лекция 6, Слайды 40 ''
{| width="100%"
 |
<math>
\begin{align}

\neg\Box p & \Leftrightarrow & \diamond \neg p \\
\neg\diamond p & \Leftrightarrow & \Box \neg p \\
 & & \\
\neg(p U q) & \Leftrightarrow & \neg q \cup (\neg p \wedge \neg q) \\
\neg(p \cup q) & \Leftrightarrow & \neg q U (\neg p \wedge \neg q) \\
 & & \\
\Box (p \wedge q) & \Leftrightarrow & \Box p \wedge \Box q \\
\diamond (p \vee q) & \Leftrightarrow & \diamond p \vee \diamond q \\
\end{align}
</math>
 |
<math>
\begin{align}

p \cup (q \vee r) & \Leftrightarrow & (p \cup q) \vee (p \cup r) \\
(p \wedge q) \cup r & \Leftrightarrow & (p \cup r) \wedge (q \cup r) \\
 & & \\
p U (q \vee r) & \Leftrightarrow & (p U q) \vee (p U r) \\
(p U q) \cup r & \Leftrightarrow & (p U r) \wedge (q U r) \\
 & & \\
\Box\diamond (p \wedge q) & \Leftrightarrow & \Box\diamond p \wedge \Box\diamond q \\
\diamond\Box (p \vee q) & \Leftrightarrow & \diamond\Box p \vee \diamond\Box q \\

\end{align}
</math>
|}

=== Логика LTL. Оператор neXt. Свойства, инвариантные к прореживанию. ===
''Лекция 7, слайды 22-25 ''

'''Оператор <math>X</math> нужно использовать аккуратно:'''
* с его помощью делается утверждение о выполнимости формулы на непосредственных потомках текущего состояния,
* в распределённых системах значение оператора <math>X</math> неочевидно,
* поскольку алгоритм планирования процессов неизвестен, не стоит формулировать спецификацию в предположении о том,
какое состояние будет следующим,
* стоит ограничиться предположением о справедливости планирования.

'''Свойства, инвариантные к прореживанию'''
* Пусть f – трасса некоторого вычисления над пропозициональными формулами P,
** по трассе можно определить, выполняется ли на ней темпоральная формула,
** трассу можно записать в форме: 
***<math>f^{n_1}, f^{n_2},f^{n_3}, ... </math> -- где значения пропозициональных формул на каждом интервале совпадают.
* Обозначим E(f) набор всех трасс, отличающихся лишь значениями <math>n_1, n_2, n_3</math> (т.е. длиной интервалов).
** E(f) называется расширением прореживания f.

* Свойство f, инвариантное к прореживанию, либо истинно для всех трасс из <math>E(\psi)</math>, либо ни для одной из них:
** <math>\psi \models f ~ \Rightarrow ~ \forall v \in E(\psi), v \models f </math>
* истинность такого свойства не зависит от длины трассы, а только от порядка, в котором пропозициональные формулы меняют свои значения;
* Теорема: все формулы LTL без оператора <math>X</math> инвариантны к прореживанию.
* в рамках LTL без <math>X</math> можно описать все свойства, инвариантные к прореживанию

=== Логика LTL. Проверка выполнимости формул LTL при помощи автоматов Бюхи. Проверка  LTL-формул в Spin. ===
'' Лекция 7, слайды 26-40 ''

'''Связь LTL с автоматами Бюхи'''
* Удобно проверять допустимость трасс для некоторого автомата Бюхи;
* Удобно описывать свойства правильности при помощи темпоральных формул;
* Для всякой LTL-формулы f существует автомат Бюхи, который допускает те и только те прогоны, которым соответствуют трассы, на которых выполнима f;

'''Переход от LTL к автоматам'''
* Привести свойство правильности LTL к форме never языка Promela достаточно просто: нужно построить отрицание LTL формулы и поместить его в тело never:
** f выполняется на всех вычислениях <=>
** !f не выполняется ни на одном вычислении <=>
** автомат never {!f} не допускает ни одного прогона, полученного в результате синхронного выполнения с системой

=== Логика LTL. Выразительная мощность LTL. Логики LTL + существование, CTL* и CTL. Сравнение выразительной мощности. ===
При помощи конструкции never можно описать любой &omega;-регулярный автомат над словами

'''Выразительная мощность LTL'''

по сравнению с конструкциями never

* LTL описывает подмножество этого языка:
** всё, выразимое на LTL, может быть описано при помощи never,
** при помощи never можно описать свойства, не выразимые на LTL
* Добавление одного квантора существования над одним пропозициональным символом расширяет выразительные способности LTL до всех омега-регулярных автоматов над словами.

(p) может быть истинным после выполнения системой чётного количества шагов, но никогда не истинно после нечётного.

<math>\exists </math> t(t && [](t -> X!t) && [](!t -> Xt) && [](!t -> !p))

LTL-формула описывает свойство, которое должно выполняться на '''всех''' вычислениях, начинающихся из исходного остояния системы

'''Логика СTL*'''
* Логика ветвящегося времени:
** использует кванторы ∀ и ∃ для обозначения трасс, на которых может выполняться свойство
** использует F вместо <> и G вместо []

'''Логика СTL'''

Логика CTL – фрагмент логики CTL*, в котором кванторы могут встречаться только парами, причём в паре должны обязательно находиться один временной и один пространственный кванторы. Например: AG EF(p), A(p U q).

'''Выразительные возможности CTL* и CTL'''
* CTL* и CTL описывают подмножества w-регулярных автоматов над деревьями
** автоматы над деревьями более выразительны, чем автоматы над словами (CTL-формула выполнима на дереве трасс, а не на одной трассе);
* CTL и LTL являются подмножествами CTL*;
* CTL и LTL не сравнимы по выразительной мощности (пересекаются, но не включают);
* на LTL можно описать свойства, не выразимые на CTL:
** CTL не позволяет описать свойства вида []<>(p),
** при помощи []<>(p) в LTL задаются ограничения справедливости;
* на CTL можно описать свойства, не выразимые на LTL:
** на LTL нельзя описать свойства вида AGEF(p),
** AGEF(p) используется для описания свойства reset: из любого состояния
система может перейти в нормальное

== Верификация программ на моделях ==

=== Задача проверки правильности программ. Валидация. Верификация. Системы с повышенными требованиями к надёжности. Реактивные программы. Параллельные программы. Особенности верификации таких программ. ===

'''Валидация''' - исследование и обоснование того, что спецификация ПО и само ПО через реализованную в нём функциональность удовлетворяет ребованиям пользователей.

'''Верификация''' - исследование и обоснование того, что программа соответствует своей спецификации.

Верификация в общем случае алгоритмически неразрешима.

Методы верификации:
* "Полное" тестирование (''Лекция 1, слайды 14-22'')
* Имитационное моделирование ([http://ru.wikipedia.org/wiki/Имитационное_моделирование вики])
* Доказательство теорем (''слайды 27-29'')
* Статический анализ (''слайды 30-33'')
* Верификация на моделях (''слайды 34-38'')

Типы программ:
* Традиционные программы
** завершимость
** спецификация включает в себя описание входа/выхода программы
** число состояний зависит от входных данных и переменных
* Реактивные программы
** работают в бесконечном цикле
** взаимодействуют с окружением
** спецификация представляет собой пары стимул/реакция
* Параллельные программы
** совместная работа нескольких компонент
** невоспроизводимость тестов
** ограниченные возможности по наблюдению

=== Подходы к верификации программ. Тестирование и имитационное моделирование. Область применения, плюсы и минусы. Проблема полноты тестового покрытия. ===
«Тестирование может показать присутствие ошибок, но не может показать их отсутствия» © Дейкстра.

Обоснование полноты тестового покрытия:
* метод «чёрного ящика» (ЧЯ) — полное покрытие входных данных,
* метод «прозрачного ящика» (ПЯ) — полное покрытие кода программы.
Плюсы применения тестирования:
* проверяется та программа, которая будет использоваться,
* не требуется знание/использование дополнительных инструментальных средств,
* удобная локализация ошибки.
Минусы применения тестирования:
* не всегда есть условия для тестирования системы,
* проблема с воспроизводимостью тестов (частичное решение — имитационное моделирование).

====Проблема полноты тестового покрытия====
* Чёрный ящик:
** для последовательных программ сложно перебрать все входные данные,
** для параллельных программ — очень сложно,
** для динамических структур данных, взаимодействия с окружением — невозможно.
* Прозрачный ящик:
** большой размер покрытия,
** часто невозможно построить 100% покрытие,
** полное покрытие не гарантирует отсутствия ошибок.
Итоги:
* Полный перебор входных данных — невозможен.
* Полнота покрытия кода не гарантирует правильности.
* Ошибка — ошибочное вычисление системы.
* Полнота в терминах возможных вычислений — хороший критерий.

=== Подходы к верификации программ. Доказательство теорем. Область применения, плюсы и минусы. ===
Основные пункты:
* система и её свойста - формулы
* задан набор аксиом и правил вывода
* строится доказательство свойства-теоремы
* таким образом, производится '' качественный '' анализ системы

''Пример: Лекция 1, слайд 28 ''

Достоинства:
* работа с бесконечными пространствами состояний
* даёт более глубокое понимание системы

Недостатки
* медленная скорость работы
* может потребоваться помощь человека (построение инвариантов циклов)
* в общем случае нельзя построить полную систему аксиом и правил вывода

=== Подходы к верификации программ. Статический анализ исходного кода программ. Область применения, плюсы и минусы. ===

Статистический анализ -- оцениваем для каждого состояния программы потенциально возможные значения переменных.

''Пример: Лекция 1, Слайды 31-32 ''

Особенности:
* анализ исходного текста без запуска программы
* в общем случае задача неразрешима

Достоинства:
* высокая скорость работы
* если ответ дан - ему можно верить

Недостатки:
* узкая область применения: компиляторы, анализ похожести кода, анализ безопасности
* ручная настройка при изменении применяемых свойств

=== Подходы к верификации программ. Верификация программ на моделях. Процесс верификации программы при помощи её модели. Область применения, плюсы и минусы. ===

''Лекция 1, Слайды 34-38 , 45''

Особенности:
* проверка свойств на конечной модели
* исчерпывающий поиск по пространству состояний
* свойства задаются в терминах значений предикатов состояний программы или последовательности этих значений

'' Пример: Лекция 1, слайды 35-36 ''

Процесс верификации программ на моделях:
* моделирование
** построение адекватной, корректной модели
** фильтрация "лишних" состояний
* спецификация свойств
** темпоральная логика
** полнота свойств
* верификация
** построение контр-примера
** анализ контр-примера

Достоинтсва:
* хорошая автоматизация
* если модель конечна, корректна и адекватна данному свойству, то будет получен точный ответ
* выявление редких ошибок

Недостатки:
* работает только для конечных моделей

Области применения
* сетевые и криптографические протоколы
* протоколы работы кэш-памяти
* интегральные схемы
* стандарты
* встроенные системы
* драйвера
* и прочие программы на C

=== Верификация на моделях. История развития верификации программ на моделях. Схема верификации программ на моделях. Классы проверяемых свойств правильности программы. ===

'' Лекция 1, Слайды 40-44 ''

'''История развития''' верификации программ на моделях:
* Флойд, 1967 – assertions, гипотеза о доказуемости корректности программы,
* Хоар, 1969 – пред- и пост-условия, триплеты Хоара (P | S | Q), логический вывод,
* Бойер, Мур, 1971 – первый автоматический прувер,
* Дейкстра, 1975 – Guarded Command Languages,
* Хоар, 1978 – взаимодействующие последовательные процессы (CSP).
* Пнуэли, 1977 – темпоральная логика LTL,
* Пнуэли, 1981 – логика ветвящегося времени (CTL),
* Кларк, Эмерсон, 1981 и Квили, Сифакис, 1982 – model checking (обход достижимых состояний),
* Варди и Вольпер, 1986 – новая техника model checking (анализ конформности),
* Хольцман, 1981 – верификатор SPIN.
* Бриан, 1989 – Двоичные решающие диаграммы (BDD),
* МакМиллан, 1993 – верификатор SMV (символьная верификация, BDD),
* Хольцман, Пелед, 1994 – редукция частичных порядков,
* 1995 – редукция частичных порядков в SPIN.
* Кларк, 1992 – абстракция для уменьшения числа состояний модели,
* Эльсаиди, 1994 – семантическая минимизация,
* Пелед, 1996, Бир, 1998 – верификация модели «на лету»,
* Равви, 2000 – анализ достижимости с учётом спецификации,
* Эмерсон, Прасад, 1994 -- симметрия
'''Рост мощности''' model checking:
* 1992 год – 1020 состояний,
* 1994 год – 10120 состояний,
* 1998 год(?) – 10394 состояний

'' Лекция 2, Слайды 3-4 ''

====Примеры классов свойств:====
* Стандартные
** Отсутствие ошибок времени выполнения (RTE),
** Отсутствие удушения (starvation),
** Не срабатывают ассерты(assertions).
** [http://en.wikipedia.org/wiki/Deadlock deadlocks] ([http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B7%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BA%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 взаимная блокировка])
** [http://en.wikipedia.org/wiki/Race_condition Race condition] ([http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%B8 состояние гонки])
* Специфичные для конкретного приложения
** требования справедливости
** корректная завершаемость
** причинно-следственный и темпоральный порядок состояний системы
** Инварианты системы,
** Индикаторы прогресса,

''Схема верификации на модели: Лекция 2, слайд 3''

=== Верификация при помощи Spin. Задание свойств состояний. ===
'''Cвойства состояний'''
* asserts
** локальные ассерты процессов
** инварианты системы процессов
*** active proctype invariant() { assert(something)}
* метки терминальных состояний
** задаём допустимые точки останова процесса
*** метка end -- система не может завершить работу без того, чтобы все активные процессы либо завершились, либо остановились в точках, помеченных метками end;

=== Верификация при помощи Spin. Задание свойств последовательностей состояний. Циклы бездействия. Ограничения справедливости. ===

'''Свойства последовательностей состояний'''
* метки прогресса (чтобы найти циклы бездействия)
* утверждения о невозможности (never claims)
** например, определяются LTL-формулами
* трассовые ассерты

'''Циклы бездействия'''. Мы хотим найти потенциально бесконечные циклы, не выполняющие никакой полезной работы. Помечаем меткой ''progress'' полезные операторы. Если найдется цикл, работающий потенциально бесконечно и не проходящий по метке progress, верификатор выдаст ошибку.

'''Ограничения справедливости'''. 
Существует два основных варианта справедливости:
* слабая справедливость:
** если оператор выполним бесконечно '''долго''', то он в конце концов будет выполнен
* сильная справедливость:
** если оператор выполним бесконечно '''часто''', то он в конце концов будет выполнен.
Справедливость применима как к внутреннему, так и к
внешнему недетерминизму.
Использование сильной справедливости – существенно дороже слабой

=== Верификация при помощи Spin. Задание свойств последовательностей состояний. Утверждения о невозможности. Трассовые ассерты. ===
'''never claims (утверждения о невозможности):'''
* выполняются синхронно с моделью
* если достигнут конец, то – ошибка
* состоят из выражений и конструкция задания потока управления
* фактически, описывают распознающий автомат.

'''Конструкция never'''
* может быть как детерминированной, так и нет;
* содержит только выражения без побочных эффектов (соотв. булевым высказываниям на состояниях);
* используются для описания неправильного поведения системы;
* прерывается при блокировании:
** блокируется => наблюдаемое поведение не соответствует описанному,
** паузы в выполнении тела never должны быть явно заданы как бесконечные циклы;
* never нарушается, если:
** достигнута закрывающая скобка,
** завершена конструкция accept (допускающий цикл);
* бездействие может быть описано как конструкция never или её часть (для цикла бездействия есть тело never по умолчанию).

'''Видимость'''
* все конструкции never – глобальны;
* тем самым, в них можно ссылаться на
** глобальные переменные,
** каналы сообщений,
** точки описания процессов (метки),
** предопределённые глобальные переменные,
** но не локальные переменные процессов;

'''Ассерты на трассы'''
Используются для описания выполнения правильных и неправильных последовательностей операторов send и recieve. ''Ассерт notrace'' - утверждает, что описанный шаблон поведения
невозможен.

=== Верификация при помощи Spin. Принцип верификации нарушения свойств. Контрпримеры. Процесс верификации при помощи Spin. Использование LTL в Spin. ===

* Свойство ''выполняется'' на модели, если оно выполняется на всех трассах.
* Свойство ''нарушается'' на модели, если нарушается хотя бы на одной из трасс.
* '''Принцип верификации нарушения свойств''' - проще проверять нарушение свойства, чем выполнение свойства. 
** Достаточно найти один контрпример
* Нарушение свойства описывается при помощи конструкции never – автомата, распознающего неправильное поведение
** Автоматы Бюхи
* Свойства на последовательностях состояний удобно описывать при помощи темпоральной логики
** Логика LTL

* Связь LTL с автоматами Бюхи
** При помощи автомата Бюхи удобно проверять допустимость трасс.
** При помощи темпоральных формул удобно описывать свойства правильности.
** Для всякой LTL-формулы f существует автомат Бюхи, который допускает те и только те прогоны, которым соответствуют трассы, на которых выполнима f
* Переход от LTL к автоматам
** f выполняется на всех вычислениях <=>
** !f не выполняется ни на одном вычислении <=>
** автомат never {!f} не допускает ни одного прогона, полученного в результате синхронного выполнения с системой

'''Использование LTL в Spin'''
* SPIN как раз и занимается тем, что преобразует LTL-формулы в автомат Бюхи, описываемый конструкцией never.
* Если во время верификации нашлась трасса, принадлежащая языку автомата Бюхи (т.е, конструкция never выполнилась, и мы дошли до её конца), SPIN выдаст '''контрпример''', содержащий эту трассу.

== Система Spin и язык Promela ==

=== Система Spin. Процесс моделирования и верификации при помощи системы Spin. Конечность моделей на Promela. Асинхронное выполнение  моделей. Недетерминированный поток управления. Понятие выполнимости оператора. ===

'''Верификация программы на модели'''
* Мы хотим задавать, как система устроена и как она должна быть устроена
* Таким образом, нужно две нотации:
** чтобы описать поведение (устройство системы)
** чтобы описать требования (свойства правильности)
* Верификатор:
** проверяет, что устройство системы удовлетворяет свойствам правильности
** выбранная нотация гарантирует разрешимость проверки правильности любого свойства любой модели
* Все держится на трех китах
** ''SPIN'' – Simple Promela Interpreter
*** верификация
*** моделирование
** ''Promela'' – Process Meta Language - описание поведения модели
*** недетерминированный язык с охраняемыми командами
*** задача языка – разрешить описывать такие модели, которые могут быть верифицированы
** ''LTL'' – Linear Temporal Logic - описание свойств

'''Конечность моделей на Promela'''
* У моделей – конечное число состояний (потенциально бесконечные элементы моделей в Promela ограничены)
** гарантирует разрешимость верификации
* Почему число состояний конечно?
** Число активных процессов конечно (от 0 до 255)
** У каждого процесса – ограниченное количество операторов
** Диапазоны типов данных ограничены
** Размер всех каналов сообщений ограничен

'''Асинхронное выполнение  моделей'''
* нет глобальных часов
* по умолчанию синхронизация отсутствует

'''Недетерминированный поток управления'''
* абстракция от деталей реализации
* Два уровня недетерминизма
** внешний (выбор процесса)
*** процессы выполняются параллельно и асинхронно (между двумя последовательными операторами одного процесса может быть сколь угодно длинная пауза)
*** произвольная диспетчеризация процессов
*** выполнение операторов разных процессов происходит в произвольном порядке (основные операторы выполняются атомарно)
* внутренний (выбор действия в процессе).
** в теле одного процесса также допускается недетерминированное ветвление

'''Понятие выполнимости оператора'''
* с любым оператором связаны понятия предусловия и эффекта
* оператор выполняется (производя эффект), только если предусловие истинно, в противном случае он заблокирован
** Пример 1: ''q?m''; если канал ''q'' не пуст, читаем из него сообщение, иначе ждём
** Пример 2: (''x > y) -> y++''; процесс будет заблокирован до тех пор, пока ''x'' не станет больше ''y''. После этого ''y'' увеличится на единицу.

=== Язык Promela. Основные компоненты модели на языке Promela. Процессы, локальные и глобальные объекты данных, каналы сообщений. ===

'''Устройство модели'''. Существует три типа объектов:
* процессы
* глобальные и локальные объекты данных
* каналы сообщений

'''Процессы'''
* Поведение процесса задаётся в объявлении типа процесса (proctype)
* Экземпляр процесса – инстанциация proctype
* Два вида инстанцирования процессов:
** В начальном состоянии системы - ''префикс active''
** В произвольном достижимом состоянии системы - ''оператор run''

'''Локальные и глобальные объекты данных'''. Два уровня видимости:
* глобальный (данные видны всем активным процессам)
* локальный (данные видны только одному процессу)
** есть особенность: локальная переменная, объявленная в теле процесса, видна во всем процессе (нет понятия ''область видимости переменной'' внутри процесса)

'''Каналы сообщений'''
* каналы бывают двух типов:
** буферизованные (асинхронные)
** небуферизованные (синхронные, рандеву)
* пример объявления канала: chan x = [10] of {int, short, bit};
** ''10'' - максимальное число сообщений в канале. 0 определяет канал рандеву.
** ''{int, short, bit}'' - структура пересылаемых сообщений

=== Язык Promela. Механизмы взаимодействия процессов в языке Promela. Глобальные переменные, каналы сообщений, явная синхронизация. ===

''см. предыдущий вопрос''

'''Явная синхронизация:'''

active proctype A() provided (toggle == true){
   L: cnt++;
   printf("A: cnt=%d\n", cnt);
   toggle = false;
   goto L
 }

active proctype B() provided (toggle == false){
   L: cnt--;
   printf("B: cnt=%d\n", cnt);
   toggle = true;
   goto L
 }

Процесс выполняется, только если значение provided clause равно true.
По умолчанию значение равно true

=== Язык Promela. Основные операторы языка Promela. Операторы-выражения, присваивания. ===
'''Основные операторы языка Promela'''
* задают элементарные преобразования состояний,
* размечают дуги в системе переходов соответствующего процесса,
* их немного – всего 6 типов:
** выражение
** присваивание
** печать
** проверка свойства безопасности (assert)
** отправка сообщения
** прием сообщения
* оператор может быть:
** выполнимым: ''может'' быть выполнен,
** заблокированным: (пока что) ''не может'' быть выполнен,
** выполнимость может зависеть от глобального состояния.

'''Оператор-выражение'''
* выполним только если выражение не равно 0 (истинно):
** 2 < 3 – выполним всегда,
** x < 27 – выполним только если значение x < 27,
** 3 + х – выполним только если x != -3.

'''Оператор-присваивание'''
* всегда безусловно выполним, меняет значение только одной переменной, расположенной слева от “=”.

=== Язык Promela. Основные операторы языка Promela. Отладочная печать, операторы skip, true, run, assert. ===

'''Основные операторы языка Promela'''
* присваивание: x++, x--, x = x + 1, x = run P();
* выражение: (x), (1), run P(), skip, true, else, timeout;
* печать: printf(“x = %d\n”, x);
* ассерт: assert(1+1 == 2), assert(false);
* отправка сообщения: q!m;
* приём сообщения: q?m;

'''Отладочная печать'''
* оператор печати ''printf'', всегда безусловно выполним, на состояние не влияет

'''Псевдо-операторы'''
* skip: всегда выполним, без эффекта, эквивалент выражения (1),
* true: всегда выполним, без эффекта, эквивалент выражения (1),
* run: 0 если при создании процесса превышен лимит, pid в противном случае.

'''Оператор assert'''
* всегда выполнимо, не влияет на состояние системы,
* Spin сообщает об ошибке, если значение выражения равно 0 (false),
* используется для проверки свойств безопасности.

=== Язык Promela. Чередование (интерливинг) операторов. Внешний и внутренний недетерминизм. Управление выполнимостью операторов. ===
'''Чередование (интерливинг) операторов'''
* процессы выполняются параллельно и асинхронно, ''между двумя последовательными операторами одного процесса может быть сколь угодно длинная пауза'',
* произвольная диспетчеризация процессов,
* выполнение операторов разных процессов происходит в произвольном порядке, ''основные операторы выполняются атомарно'',
* в теле одного процесса также допускается недетерминированное ветвление

'''Внешний и внутренний недетерминизм'''
* два уровня недетерминизма:
** внешний (выбор процесса),
** внутренний (выбор действия в процессе).

'''Управление выполнимостью операторов'''
Основной инструмент управления выполнимостью операторов в Promela – выражения (expressions).
(a + b) -> c++;
Так же существуют управляющие конструкции if..fi и do..od

=== Язык Promela. Задание потока управления последовательного процесса. Управляющие конструкции if, do. Организация внутреннего недетерминизма. ===
'''Задание потока управления последовательного процесса'''
5 способов задать поток управления:
* последовательная композиция(“;”), метки, goto,
* структуризация (макросы и inline),
* атомарные последовательности (atomic, d_step),
* недетерминированный выбор и итерации (if..fi, do..od),
* escape-последовательности ({...}unless{...}).

'''Специальные выражения и переменные'''
* else – true, если ни один оператор процесса не выполним,
* timeout – true, если ни один оператор модели не выполним,
* _ – переменная, доступная только по записи, значение не сохраняет,
* _pid – минимальный доступный pid,
* _nr_pr – число активных процессов.

=== Язык Promela. Каналы сообщений. Операторы отправки и приёма сообщений. Тип mtype. синхронная и асинхронная передача сообщений. ===
'''Каналы сообщений'''
* сообщения передаются через каналы (очереди/буфера ограниченного объёма)
* каналы бывают двух типов:
** буферизованные (асинхронные),
** небуферизованные (синхронные, рандеву);

chan x = [10] of {int, short, bit};

'''Операторы отправки и приема сообщений'''
Отправка: ch!expr1,...exprn
* значения expri соответствуют типам в объявлении канала;
* выполнимо, если заданный канал не полон;
Приём: ch?const1 или var1,...constn или varn
* значения vari становятся равны соотв. значениям полей сообщения;
* значения consti ограничивают допустимые значения полей;
* выполнимо, если заданный канал не пуст и первое сообщение в канале соответствует всем константным значениям в операторе приёма сообщения;

'''Объявление mtype'''
* способ определить символьные константы (до 255)

Объявление mtype:
mtype = {foo, bar};
mtype = {ack, msg, err, interrupt};

Объявление переменных типа mtype:
mtype a;
mtype b = foo;

'''Cинхронная и асинхронная передача сообщений'''
* Асинхронная передача
** асинхронные сообщения буферизуются для последующего приёма, пока канал не полон,
** отправитель блокируется, когда канал полон,
** получатель блокируется, когда канал пуст.
* Синхронная передача
** ёмкость канала равна 0 - chan ch = [0] of {mtype};
** передача сообщений методом “рандеву”,
** не хранит сообщения,
** отправитель блокируется в ожидании получателя, и наоборот,
** отправка и приём выполняются атомарно.

=== Язык Promela. Каналы сообщений. Вспомогательные операции с каналами сообщений. ===
'''Другие операции с каналами'''
* len(q) – возвращает число сообщений в канале,
* empty(q) – возвращает true, если q пуст,
* full(q) – возвращает true, если q полон,
* nempty(q) – вместо !empty(q) (в целях оптимизации),
* nfull(q) – вместо !full(q) (в целях оптимизации).
* q?[n,m,p]
** булевое выражение без побочных эффектов,
** равно true только когда q?n,m,p выполнимо, однако не влияет на значения n,m,p и не меняет собержимое канала q;
* q?<n,m,p>
** выполнимо тогда же, когда и q?n,m,p; влияет на значения n,m,p так же, как q?n,m,p, однако не меняет содержимое q;
* q?n(m,p)
** вариант записи оператора приёма сообщения (т.е. q?n,m,p),
** может использоваться для отделения переменной от констант
* q!!n,m,p – аналогично q!n,m,p, но сообщение n,m,p помещается в канал q сразу за первым сообщением, меньшим n,m,p;
* q??n,m,p – аналогично q?n,m,p, но из канала может быть выбрано любое сообщение (не обязательно первое).

''Имя канала может быть локальным или глобальным, но канал сам по себе – всегда глобальный объект''

=== Язык Promela. Основные типы данных. Область видимости данных. ===

{|
 |+ Основные типы данных
 ! Тип !! Диапазон !! Пример объявления !!
 |-
 | bit || 0..1 || bit turn = 1; ||
 |-
 |bool || false..true || bool flag = true; ||
 |-
 |byte || 0..255 || byte cnt; ||
 |- 
 |chan || 1..255 || chan q; ||
 |-
 |mtype || 1..255 || mtype msg; ||
 |-
 |pid || 1..255 || pid p; ||
 |-
 |short || -215..215-1 || short s = 100; ||
 |-
 |int || -231..231-1 || int x = 1; ||
 |-
 |unsigned || 0..2n-1 || unsigned u : 3; // 3 бита [?] ||
 |}

* по умолчанию все объекты (и локальные и глобальные) инициализируются нулём;
* все переменные должны быть объявлены до первого использования;
* переменная может быть объявлена где угодно.

'Одномерные массивы'

byte a[27];
bit flags[4] = 1;

* все элементы массива инициализируются одним значением,
* индексы нумеруются с 0;

'Пользовательские типы данных'

typedef record {
short f1;
byte f2 = 4;
}
record rr;
rr.f1 = 5;

'''Только два уровня видимости'''
* глобальный (данные видны всем активным процессам),
* локальный (данные видны только одному процессу)
** подобластей (напр. для блоков) нет,
** локальная переменная видна везде в теле процесса;

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Шаблон:Курс ВПнМ

Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%92%D0%9F%D0%BD%D0%9C/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD

Редактирование: ВПнМ/Теормин

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 [[Изображение:Verif1.png|400px|thumb|right|Схема верификации на моделях (''Лекция 2, слайд 3'')]]
-'''Состояние программы''' - совокупность значений объектов данных и счётчика управления, связанных с некоторой моделью программы.
+'''Состояние программы''' - совокупность значений переменных и управления, связанных с некоторой моделью программы.
 '''Модель''' - упрощённое описание реальности, выполненное с определенной целью.
@@ Строка 74: / Строка 74: @@
 '''Reach(TS)''' - множество всех достижимых состояний в TS
-'''Трасса''' <math>tr = L(s_0) L(s_1) \dots \in (2^{AP})^\omega</math>; <math>~\omega</math> означает, что трасса может быть бесконечной
+'''Трасса''' <math>tr = L(s_0) L(s_1) \dots \in (2^{AP})^\omega</math>
 ====Свойства линейного времени====
@@ Строка 90: / Строка 90: @@
 ** <math> dom(v) = D_p^v \subseteq D_p</math> -- каждая переменная принадлежит какому-либо домену
 * <math>n</math> -- подстановка. <math>n: V_p \rightarrow D_p, \forall v  \in Var</math> <math>n(v) \in D_p^v</math>
-* <math>~ Cond(V_p)</math> -- Набор булевых условий над <math>V_p</math>
+* <math>Cond(V_p)</math> -- Набор булевых условий над <math>V_p</math>
-** формулы пропозициональной логики (<math>p1 \or p2</math>)
+** формулы пропозициональной логики
-** условия на переменные вида <math>x \in X</math> (p1: 3<=y<18, p2: f=4)
+** условия на переменные
-* <math>~ Eval(Var)</math> -- множество значений переменных. Собственно, это и есть подстановка.
+* <math>Eval(Var)</math> -- множество значений переменных. Собственно, это и есть подстановка.
 * Эффект операторов: <math>Effect: Act \times Eval(Var) \rightarrow Eval(Var)</math>
@@ Строка 100: / Строка 100: @@
 <math>  PG= \langle Loc , Act , Effect ,\rightarrow, Loc_0, g_0 \rangle </math>
-* <math>~ Loc</math> -- множество точек
+* <math>Loc</math> -- множество точек
 ** <math>Loc_0 \in Loc</math> -- множество начальных точек
-* <math>~ Act</math> -- множество действий
+* <math>Act</math> -- множество действий
 * <math>\rightarrow \subseteq Loc \times (Cond(V_p) \times Act) \times Loc </math> -- отношение перехода (<math>Cond(V_p) </math> -- это фактически страж оператора )
-* <math>~ Effect: Act \times Eval(Var) \rightarrow Eval(Var)</math> -- функция эффекта
+* <math>Effect</math> -- функция эффекта
 * <math>g_0 \in Cond(V_p)</math> -- начальное условие
@@ Строка 113: / Строка 113: @@
 ** находимся в точке программы l
 ** значение переменной x принадлежит некоторому множеству и это множество является подмножеством множеств значений этой переменной.
-* Состояния <math>\langle l,n \rangle</math> размечаются высказыванием о том, что мы находимся в точке программы <math>~ l</math> и всеми высказываниями, истинными в <math>~ n</math>
+* Состояния <math>\langle l,n \rangle</math> размечаются высказыванием о том, что мы находимся в точке программы l и всеми высказываниями, истинными в n
-* Если в графе программы есть дуга из <math>~ l</math> в <math>~ l'</math> со стражем <math>~ g</math> и действием <math>~ a</math> и в некоторой подстановке <math>~n</math> выполняется страж <math>~ g</math>, то в системе переходов, которая соответствует этой программе будет присутствовать дуга из состояния <math>\langle l,n\rangle</math> в состояние <math>\langle l', Effect(a,n)\rangle</math> по действию <math>~ a</math>.
+* Если в графе программы есть дуга из l в <math>l'</math> со стражем g и действием a и в некоторой подстановке n выполняется страж g, то в системе переходов, которая соответствует этой программе будет присутствовать дуга из состояния <math>\langle l,n\rangle</math> в состояние <math>\langle l', Effect(a,n)\rangle</math> по действию a.
 '''Системы переходов графов программ'''
@@ Строка 216: / Строка 216: @@
 Тогда <math>TS_1 \times TS_2 = \langle S_1 \times S_2, Act, \rightarrow, I_1 \times I_2, AP_1 \cup AP_2, L \rangle </math>, где
 * <math>L(\langle s_1, s_2 \rangle) = L_1(s_1) \cup L_2(s_2)</math>
-* <math>\rightarrow</math> определяется как: <math>\frac{s_1 \overset{\alpha}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{\beta}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{\alpha * \beta}{\rightarrow} \langle s_1', s_2' \rangle}</math>
+* <math>\rightarrow</math> определяется как: <math>\frac{s_1 \overset{\alpha}{\rightarrow}_1 s_1' ~ \wedge ~ s_2 \overset{\beta}{\rightarrow}_2 s_2'}{ \langle s_1, s_2 \rangle \overset{\alpha * \beta}{\rightarrow} \langle s_1', s_2 \rangle}</math>
 === Параллелизм. Асинхронный параллелизм. Системы с каналами. Операционная семантика. ===
@@ Строка 585: / Строка 585: @@
 ** '''Слабый Until:'''
 *** всегда e, до тех пор, пока не f, при этом не факт, что f наступает (тогда всегда e)
-*** <math>s_i \models e W f ~~ \Leftrightarrow ~~ s_i \models f \vee (s_i \models e \wedge s_{i+1} \models e W f)</math>
+*** <math>s_i \models e \cup f ~~ \Leftrightarrow ~~ s_i \models f \vee (s_i \models e \wedge s_{i+1} \models e \cup f)</math>
 ** '''Сильный Until:'''
 *** всегда e, до тех пор, пока не f, при этом f обязательно должно наступить
@@ Строка 884: / Строка 884: @@
 * Кларк, Эмерсон, 1981 и Квили, Сифакис, 1982 – model checking (обход достижимых состояний),
 * Варди и Вольпер, 1986 – новая техника model checking (анализ конформности),
-* Хольцман, 1989 – верификатор SPIN.
+* Хольцман, 1981 – верификатор SPIN.
 * Бриан, 1989 – Двоичные решающие диаграммы (BDD),
 * МакМиллан, 1993 – верификатор SMV (символьная верификация, BDD),
@@ Строка 915: / Строка 915: @@
 ** Индикаторы прогресса,
-====Схема верификации на модели====
+''Схема верификации на модели: Лекция 2, слайд 3''
-[[Изображение:Verif1.png|400px|Схема верификации на моделях (''Лекция 2, слайд 3'')]]
 === Верификация при помощи Spin. Задание свойств состояний. ===