История математики, 03 лекция (от 18 сентября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 12:55, 20 октября 2009

• Диктофонная запись (2009 год): Лекция 03.mp3
• Диктофонная запись (2008 год): http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_09_18.ogg

В ём влияние выч. техники на развитие мтематики.

Даже классич. матем. претерпела изм. Целая куча даже старых задач, здачи геодезии, где надо было составлять большие системы, аналогично задачи прогноза погоды. Прихдилось придумывать новые методы. То же --- решение больших систем диф. уров. То же задачи регуляризации, пск. тчно задачи, особенно обртные, решать нельзя, необх. плучать прибл. решения.

Лектор расск. о мтем. древней греции, расск. о пифагр. математике. Крме того, это первый в истории кризис мтематике, нахждение несоизм. отрезков. Поэтому пифагор. пняли, что мн-фо отрезков более полно, чем множество целых чисел. Пифагор. поняли это не сразу, и для них это было шоком.

В это же время возн. много мт. прблем, влияние которых чувствовлсь н протяж. тысячелетий. Задача о трисекции угла, удвоении куба, квдратуре круга.

Об удвоении куба. На одном острове не было дождя, и жрец сказал, что нужен жертвенный куб, в два раза больший, чем имеющийся. И эту дачу решить не смогли. Тогда решали всё циркулем и линейкой, факт., необх было корями второй степени пстр. 2^(1/3). Первым выск. невзм. этого Рене Декарт, но док. это принадлежит ... в 1837. По сущ., это свдилось к реш. ур cos φ = 4 cos^3 φ/3 - 3cos φ/3

Квадртур круга. Надо постр. квадрат, равновеликий кругу. x= sqrt(p).

Трисекция угла. Из теоремы Ванцеля следует, что её тоже решить нельзя, и факт. та же задача.

Но греки, схитрив, таки делили угол на три.

Нарисовть угол, Из центра нарис полукруг. Взять линейку и сделать засеяки расст. с рдиус. И будет ездить прямой, пока внешность не стнет равна r.

Но эт не честное постр., пскольку тут есть движение.

Что ещё сроили древние: постр. квадрата, равновеликого прямоугольнику. Факт., небх. найти sqrt(a,b). Для этого рис отр. a, b, и стр. окр. как на диаметре, и если постр. тр, переп точке сопр, т будет sqrt(ab)

Отсюда же следует, что (a+b)/2 ≥ sqrt(ab)

Это не единственный способ доказтельства, н этот один из прстых.

Дстточн изобр. способы использвали древние

Отр. числа. Довольно долго их не принимали.

Это то, что кас. пиф. школы.

К этому периоду относятся и апории Зинона.

Откуд они появились? Хтелось получить конеч. число из беск. количества беск. млых величин.

Апории: ахиллес и черепаха, дихотомия.

Философы думли нд этим гдами.

Ньютон опр. беск. млую величину как ... .

Ньютон пользовлся флюксиями (произвдными), но сами рабты, связанные с её свойствами не публиковл, поск считал её неточными.

налгично поступал и Эйлер.

Вспомним про философов Дамакрит (460-370 д н э). Тгд все были философы. Чем он занимался? Мтем., физик, биология, ... Нас инт. ег мат. предст, мт. воззрение.

Соль его мат. предст. в атомист. предст.

Он считал, что все вел-ны состоит из элементов меньшей рзмерности, из атомов.

Метод исчерпывния. При необх. выч. площади фигуры в неё впис. фигуры, площдь котрых известна, и которые ппрокс. её всё лучше. И потом получающуюся площадь приним. за площдь фигуры.

Платон (424-347 лет). Нд входом в Академию (деревушк пд Афиннми с таким названием) висел надпись "не знающий геометрию да не вйдёт сюда"

Что такое познние у Платона? Это пнимание того, что ты видел в потустороннем мире ещё до своего рождения.

Аристотель. (384-322) Его филос. господстввала в мире на протяжении 2 тысяч лет. Трудно сказать, что он матем, но некотрые моменты у него были.

Именно ему приндл. пнятия налогии, индукции, дедукции

Любое движение сост. из прямлинейного и по кругу. Это господствовло достаточн долго.

ристтель уделял много внимния понятию бесконечности. Он обсуждал и платновскую филос, и пифагр.

След. Евклид (коло 300 г д н э). Жил и работл в Александрии. Там и Полоний, и ..., и Эратосфен рботали. Там был пстроен нучный центр

Евклид. ДЕло в том, что сзрела необюходимость в сист. матем. Со свими обоснованиями, со свей системой логич. вывдов и док. Ткую сист. нзывали начала. И евкл. начала не первые. Первые были Гиппократа хиосского, но они до нас не ошли.

Гиппоккрт хиосский. Он начал изучать квадрируемые луночки. Утв. сто площадь лунок равн площади треуг. Это было сделано за 500 лет до нэ, квдрирование кривых. Лишь в нчале 20-го века было доказно, что таких лунок очень мало, 5 типов.

Евклид. 12 книг. Способ изложения были чрезвычайно громздкие. Все док-ва были очень грмздкие и сложные. Ещё Пифагор говорил, чт заниматься числами был удер избранных.

Первая книга сдержла определения, аксиомы и пстулаты. Что ткое опр. во времен евклида? Это предст. о понятия, господвовашие в тот период. Напр., точка --- то, что не имеет частей. Линия --- длин без ширины. Куб --- телесня фигура, закл. между 6 равными квадратами.

В никаких других псл. книгах аксиом и постулатов нет.

Сейчас гворят, что кс. и постулаты есть дно и то же. У евклида это не совсем так. У евклида аксиомы --- предл. о равенстве и неравенстве.

Аксиомы: 4. Совмещ. равно между собой 5. Часть меньше целого

Постулаты:

2. Отрезк прямой мжн продолж. неогр
3. Из всякой точки можно првести кр
4. Все прямые углы равны
5. Если две прямые, проведённые в одной плоскости, пересеь третьей прямй, и сумма внутр. углов меньше двух прямых углов, то эти прямые пересек. там, где имеет место.

По существу, эт аксиоматика тк и созранилась. Мнго было попыток её изменить. Серьёзное усоверш. связно разве что с именем ...

То, что 5 пстулат есть постулат, а не теорем, надо быть евклидом, чтобы д этого додуматься. Н протяж псл. 2 тысяч лет многим кзлось, что это можно доказать.

Если ...

Эт первая книга Евклида. В первой книге даются сн. действия над геом. примитивами и док. теорем пифагора.

Метод док-ва тков, что из зведомо верного утв. логическим путём полоучается и разб. с пмощью чётких постр. выводится новое утверждение.

Метод док. такй: фрм. док-во или утверждение, делаеится чекртёж, док-во по чертежу, доп. постр необх. и так длее.

Тот метд, который исп евклид, нз. синтезом.

Вся сист. геом. алгебры излаг во второй книге. Способы пер. с отр., площадми, объёмми.

Третье. Свойств впис. и описанных углов.

Четв. Пост. 3, 4, 5, 6 и 15 угольников правильных.

Гаусс гордился тем, что нарисовал 17-угльник в круге, и это увековечено на его могиле.

У Пифагора на могиле шар, вписанный в циллиндр.

Пятая книг. Общая теория отношений.

Шестая. ... и теорема Флесса

Пдобие фигур. Решение ур. ax + b/c x^2 = s

7-9 книги. Рациональные числв. Излагается алг. евевклид о нходдении НОД. Осн. теремы делимости. Теорема соверш. числах.

10. Изуч. и классифиц. 25 видов квдр. иррц (sqrt(sqrt(a)+b)). Там же даётся лемма исчерпывания. Там дётся спсоб нхжд пифаг. чисел

11. Стереометрия.

12. Сотн. бъёмов пралл, конусов, призм.... . Постр. правильных мнгогранников. И докзывется, что других нет.

Первое в истории чёткое постр. мтем.

Особенности: искл. геом, чр-ва --- циркуль и линейка. Поэтому нет теор. кончи. сечений, нет алг, трнсцед. кривых. Нет алг. методов.

Дальнейшее разв. привело к геом. лобачевского и так далее.

Архимед. Сын ... .

В прошлый раз бсуждал проблему чистой мтематики. В-первых, блегчл труд путём сздания рычагов. На пртяж. двух лет динр по сущ. боронял сиркузы от римского воинства.

Чт кас. матем? н видел т, чего не видели многие. Напр. Площадь пр. треуг равновелика чему?

Что смое важне --- он умел выч. площади и бъёмы фигур. Впис. и опис. циллиндры.

Дал чень хорошее предст. для пи --- 3 10/70 и 3 10/71.

Научным сперником рх был Апполоний. Его мат. дост. это конич. сечения. У него было 8 книг о конич. сечения, где он иссл. 387 теорем рзного род вещх, связ. с конич. сечениями. Кажде конич. сечение он рассм. заново, у не было бщей теории. Это харктерно для старй математики вообще.

Герон. Мы знем его по формуле Герона, самой потвной формуле выч. площди тр.

Он занимался прикл. мтем. Умел выч.ю квадлраты и куб. корни. Умел решать ква. ур. У мел выч. площади и бъёмы фигур, умел делать чень многие прикл. вещи. У него есть астр. таблицы. Занимался проблемами оптики, сделал метательные мшины. Удивил свих современников: двери в храм при ткрытии солнц открывались

Диофант (3 в нэ). Ншёл рац. реш. 189 неопр. урвнений. Неопр --- кгда кол-во неизв. больше кол, ур. У него были спец. обозн для степеней. Давал способ получ. троек пифагоровых чисел. В общем виде диф. ур. ... исследвались в 19 веке.