Редактирование: История математики, 06 лекция (от 09 октября 2008 года)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 5: | Строка 5: | ||
Тем не менее, он предлагал писать уравнения кривых, предлагал правила написания уравнений кривых, и доказывал, что все уравнения, решаемые циркулем и линейкой, решал уравнения не более второй степени. Он не давало общего правила, но рассматривал большое количество трудных задач. Декарт считал допустимыми только те прямые, которые только циркулем и линейкой, шарнирным механизмом. Он классифицировал кривые, давая ранг кривой, который определённым количеством звеньев шарнирного механизма, которым можно нарисовать кривую. Это была первая попытка классифицировать кривых. Остальные кривые были названы механическими. Позднее Лейбниц назвал их трансцендентными. У Декарта не было простых кривых. Трёхосная система координат появилась лишь в конце 18 века. | Тем не менее, он предлагал писать уравнения кривых, предлагал правила написания уравнений кривых, и доказывал, что все уравнения, решаемые циркулем и линейкой, решал уравнения не более второй степени. Он не давало общего правила, но рассматривал большое количество трудных задач. Декарт считал допустимыми только те прямые, которые только циркулем и линейкой, шарнирным механизмом. Он классифицировал кривые, давая ранг кривой, который определённым количеством звеньев шарнирного механизма, которым можно нарисовать кривую. Это была первая попытка классифицировать кривых. Остальные кривые были названы механическими. Позднее Лейбниц назвал их трансцендентными. У Декарта не было простых кривых. Трёхосная система координат появилась лишь в конце 18 века. | ||
- | Декарт занимался общей теорией решения | + | Декарт занимался общей теорией решения уравн. Не любил отрицательные числа, не пользовался, не знал комплексных чисел, и высказал гениальную гипотезу: уравнение n-ной степени имеет n корней. Доказано это было значительно позже Гауссом. Доказательства были ещё до Гаусса, но значительно после Декарта Но у всех этих доказательств был достаточно большой недостаток: они исходили из того, что корни сущестуют, и потом доказывали, что их n, Гаусс сумел без этого обойтись. Ещё Декарт говорил о том, что количество положительных корней совпадает с количеством знакоперемен в уравнении. |
Уравнения 3, 4 степени он решал тригонометрическими методами, используя метод, аналогичный методу вставки в трисекции угла. | Уравнения 3, 4 степени он решал тригонометрическими методами, используя метод, аналогичный методу вставки в трисекции угла. | ||
Строка 35: | Строка 35: | ||
Всерьёз умели решать задачи инт. ... умел решать ещё Архимед, Евдокс. Но люди надо долгое время потеряли те знания, которые имели за 1.5 тыс. лет до этого. Где-то с 1609 по 1619 Кеплер открыл законы движения планет. Для этого ему требовалось искать площади: траектория планеты за равное время заметает равные вектора. Он предполагал это, но это надо было посчитать. Ему потр. возр. метод исчерпывания. Кеплер посвятил этому достаточно много времени и сил и написал большую книжку: о стереометрии, или новое в стереометрии винных бочек, как наиболее удобных, и так далее, и так далее. Кеплер там приводил методы вычисления объёмов и площадей. Они похожи на то, чт предлагал Архимед, но значительно менее строги. Наст. менее, что написал памфлет в защиту Архимеда от Кеплера. Какие Кепплер исследовал фигуры? Тела вращения. Причём он исследовал 92 тела вращения и это говорит о том, что нет общего метода. И надо было для каждого придумывать своё название. И он придумывал: яблоко, чалма, ... Он пытался разбить фигуру на множество частей, а потом из этого лепить другую фигуру, объём которой умел считать. Например, брал тор, нарезал на множество мелких частей, и приближал цилиндрами. Площидь круга — сумма площадей треугольников высотой в радиус и с суммой основания в длину. | Всерьёз умели решать задачи инт. ... умел решать ещё Архимед, Евдокс. Но люди надо долгое время потеряли те знания, которые имели за 1.5 тыс. лет до этого. Где-то с 1609 по 1619 Кеплер открыл законы движения планет. Для этого ему требовалось искать площади: траектория планеты за равное время заметает равные вектора. Он предполагал это, но это надо было посчитать. Ему потр. возр. метод исчерпывания. Кеплер посвятил этому достаточно много времени и сил и написал большую книжку: о стереометрии, или новое в стереометрии винных бочек, как наиболее удобных, и так далее, и так далее. Кеплер там приводил методы вычисления объёмов и площадей. Они похожи на то, чт предлагал Архимед, но значительно менее строги. Наст. менее, что написал памфлет в защиту Архимеда от Кеплера. Какие Кепплер исследовал фигуры? Тела вращения. Причём он исследовал 92 тела вращения и это говорит о том, что нет общего метода. И надо было для каждого придумывать своё название. И он придумывал: яблоко, чалма, ... Он пытался разбить фигуру на множество частей, а потом из этого лепить другую фигуру, объём которой умел считать. Например, брал тор, нарезал на множество мелких частей, и приближал цилиндрами. Площидь круга — сумма площадей треугольников высотой в радиус и с суммой основания в длину. | ||
- | '''Кавальери'''. Монах из Болонии. Всю жизнь посвятил математике. Его волновало, как | + | '''Кавальери'''. Монах из Болонии. Всю жизнь посвятил математике. Его волновало, как выч. объём и площ. фигур, и он несильно продвиулся по срав. с Демокритом. |
- | Когда лектор | + | Когда лектор гвоорил про фЕрма, почему он увлёкса матем: он читал фил. древности, в частности, аполлония, который занимался кривыми. У кавальери же идеи своп. с идеями Дамакрита. Он проповедовал идею ндеелимых. Надо исп. для изм. чего-то элем. ежиницы на единицу меньше. Он строил прямую, регулу, и строил пар-но ейбеск. кол-во прямых. Что кас. прмых, т о онит покр. деск. кол-вом точек, но что это такое, у К. дело не доходило. |
- | Одновременно с ним пытался | + | Одновременно с ним пытался выч. объёмы фигур Торричелли. Он выч. объём фигуры, получ. в рез-те вращ. ветки гиперболы. |
- | Пожалуй, надо сказать о | + | Пожалуй, надо сказать о наиб. продвинутой в этом напр. вещи. Лектор вернётся к Паскалю. Лектор о П. говорил како созд. машины. Но П. это не только великий физик и конструктор, но и великуий матем. Его рез-ты в теор. вер-ти, треуг. П., но он тоже исп. теорию недел., но в знач. более продв. форме. Он в кач. неделимого ис.п ∑y dy. Он в этом смысле продв. знач. дальше. |
- | Дальше это связано с | + | Дальше это связано с именнами британцев, шоттландцев: ... Барроу. В трудах ... уже отд. труды по интергр. и диф. ур. |
- | Барроу | + | Барроу сформ. обр. связь задач на инт. и диф. Задача диф. — задача на отыск. экстр., а инт — на от. площадей, и он сформ. теорему о связи этих задач. |
- | + | Инт. исч. в серьёзном виде возн. одновр. в виде теории флюксий у Ньютона, исч. диф. у Лейбница. Это творая половина 17-го века, и начнёт леткор с Исаака Ньютона, великуого учёного, выд.ю механика, физика, астронома, математика, причём физики сч. , что это великий физик, механики, что великий механик, матем., что выд. матем. Сам себя матем. не считал, поск. матем. у него была ср=вом, а не самоцелью для реш. задач фищики и механики. Он придумываал способы и методы, недост. серьёхно это обосн., поск. или не считал эт необх., или не мог это сделать. Но ему нужно было получать рез-ты и рез-ты получались верные, и пусть кто-то потомэти рез-ты обосн. Такой же точки зр. придерж. и Эйлер. | |
- | + | Н. Зак. trinity college. Зак. его и получил степень магистра. в 1665 случилась эпидемия, и он укрылся от неё укрылся в Вудсторке на три года. И это оказ. самые плодотворные годы в жизни Ньютона. Осн. вещи: | |
* Заложены осн. теории флюксий | * Заложены осн. теории флюксий | ||
* Закон всемирного тяготения | * Закон всемирного тяготения | ||
Строка 55: | Строка 55: | ||
Это всё в этот период предывания в Вуллсторке(?) | Это всё в этот период предывания в Вуллсторке(?) | ||
- | В | + | В 1969 году вернулся в Кембридж к учителю Барроу. И Б. просил Н. возглавить кафедру матем., которую возгдл. сам Барроу. И 32 года он возгл. каф. мат. в Кембридже. |
- | В 1672 году он стал членом | + | В 1672 году он стал членом Лонд. корол. общ., впосл. его возглавил. Потом стал членом париж. академии наук. |
- | Он был | + | Он был назн. смотр. монетного двора и упорядочил монетное дело в Англии. |
- | Он получил дворянское звание, похоронен был в | + | Он получил дворянское звание, похоронен был в вестми... аббатстве. |
- | Бернулли разослал две сложных задачи всем изв. ему мат. Европы и дал 6 месяцев на реш. задач. Прошло немного времени, и он | + | Бернулли разослал две сложных задачи всем изв. ему мат. Европы и дал 6 месяцев на реш. задач. Прошло немного времени, и он получ. анонимное реш., но по стилю изл. быо ясно, что это Ньютон. |
- | + | Чнм он зан.: фищ., мех., мат: | |
- | * | + | * Мех. Три закона Ньютона. ЧЕстно, не только он, первый, например, Галлилей, но Н. собрал из в кучку. он же показал, что законы движ. планет вытекают из закона всемир. тяг |
- | * | + | * Иссл. движ. тел в сплош. среде |
- | * Решал | + | * Решал конкр. задачи земной и неб. механики |
- | * Главная заслуга — | + | * Главная заслуга — рез-ты в теории диф. исчисления. |
- | Главное, о чём лектор хотел бы сказать — теория флюксий. Это | + | Главное, о чём лектор хотел бы сказать — теория флюксий. Это флюэта, от "течь" — зависимая переменная, зависит она от непр. меняемой вел-ны. Скорость изм. наз. флюксией. Т. о., это произв. по времени от флюенты. Если флюенты обозн. y, то флюксия — y с точкой, изм. флюксии — y с двумя точками, и так далее. В мех. до сих. пор такое обозн. |
Если дана флюксия, то как получить флюенту? 'y, или □y — отсюда квадратура. | Если дана флюксия, то как получить флюенту? 'y, или □y — отсюда квадратура. | ||
- | В | + | В теор. флюксий в перв. очедерь появлиось неопр. интегрирование. |
- | Пример самого | + | Пример самого Н., как он диф. функции, алг. диф функции, и тут лектор хочет отметить некую особенность: он диф. не функции, а соотн. И вы увидите, почему он сам не шибко удовл. своими изысканиями: |
- | x^3 - ax^2 + axy - y^3 = 0 — | + | x^3 - ax^2 + axy - y^3 = 0 — соотн. для флуент x, y. |
- | К каждой флюенте | + | К каждой флюенте доб. момент: |
(x+x·O)^3 - a(x+x·O) + a(x+y·O)(y+y·O) - (y+y·O)^3 = 0 | (x+x·O)^3 - a(x+x·O) + a(x+y·O)(y+y·O) - (y+y·O)^3 = 0 | ||
x^3 + 3x^2 x·O + 3x x·^2 O^2 + x·^3 O^3 - ax^2 - 2axx·O - ax·^2O^2 + axy + axy·O + ax·yO + ax·y·O^2 - y^3 - 3y^2 y·O - 3yy·^2 O^2 - y·^3 O^3 = 0 | x^3 + 3x^2 x·O + 3x x·^2 O^2 + x·^3 O^3 - ax^2 - 2axx·O - ax·^2O^2 + axy + axy·O + ax·yO + ax·y·O^2 - y^3 - 3y^2 y·O - 3yy·^2 O^2 - y·^3 O^3 = 0 | ||
Делим это всё на O: | Делим это всё на O: | ||
3x^2 x· - 2axx· + axy· + ax·y - 3y^2 y = 0 | 3x^2 x· - 2axx· + axy· + ax·y - 3y^2 y = 0 | ||
- | Получится | + | Получится диф., но понятно, что это нечто неформальное. |
- | Более того, он метод | + | Более того, он метод форм. метод в виде правила. Он говорит так: «разложи по степеням переменных» |
x^3 - ax^2 + axy - y^3 - y^3 + 0y^2 + axy - ax^2 + x^3 | x^3 - ax^2 + axy - y^3 - y^3 + 0y^2 + axy - ax^2 + x^3 | ||
- | Расположи в | + | Расположи в арифм. прогр. коэф с x·/x: |
3x·/x 2x·/x x·/x 0 3y·/y 2y·/y y·/y 0 | 3x·/x 2x·/x x·/x 0 3y·/y 2y·/y y·/y 0 | ||
Умножь почленно: | Умножь почленно: | ||
Строка 97: | Строка 97: | ||
... | ... | ||
- | + | D xkj;ys[ ckexfz[ Y/ ращлагал функции во врем. ряды. Но, чтобы иметь возм. отбр., док..., Ньютон не мог. | |
- | В | + | В кач. примера его рез-тов: интерполирование. Есть интерп. формула Ньютона. Что он предложил: |
f(a + n δx) = f(a) + nδf(a) + h(n-1)/2! aδ^2 f(a) + ... + δ^n f(a) | f(a + n δx) = f(a) + nδf(a) + h(n-1)/2! aδ^2 f(a) + ... + δ^n f(a) | ||
δf(x) = f(x + δx) - f(x) | δf(x) = f(x + δx) - f(x) | ||
δ^2 f(x) = δf(x+δx) - δf(x) | δ^2 f(x) = δf(x+δx) - δf(x) | ||
- | В | + | В след. году Тейлор предл. рассм. слуай беск. большого кол-ва слагаемых. |
- | Почему лектор на это напирает? У Ньютона формула приближённая. Тейлор предложил | + | Почему лектор на это напирает? У Ньютона формула приближённая. Тейлор предложил ф-лу точную. Что дальше? Дальше — упомянуты метод рунгк-кутта. Можно аппрокс. производные. |
- | Если | + | Если гов. об англ. мат. того периода, то там есть Симпсон, Стирлинг. |
- | Главное: Ньютон — | + | Главное: Ньютон — родонач. теор. диф. в виде флюксий. |
Следующий — Лейбниц. | Следующий — Лейбниц. | ||
<noinclude>{{История математики}}</noinclude> | <noinclude>{{История математики}}</noinclude> | ||
+ | {{Lection-stub}} |