Конструирование Компиляторов, Алгоритмы решения задач

Материал из eSyr's wiki.

Версия 02:57, 29 июня 2007 (править) 212.192.254.227 (Обсуждение) (→Построение FIRST и FOLLOW) ← К предыдущему изменению

Версия 14:42, 13 ноября 2007 (править) (отменить) ESyr01 (Обсуждение | вклад) м (1 версий) К следующему изменению →

---

Версия 14:42, 13 ноября 2007

Содержание 1 Построение НКА по РВ 1.1 Пример 2 Построение ДКА по НКА 2.1 Пример 3 Построение праволинейной грамматики по конечному автомату 3.1 Пример 1 (детерминированный конечный автомат) 3.2 Пример 2 (недетерминированный конечный автомат) 4 Построение ДКА по РВ 4.1 Модификация регулярного выражения 4.2 Построение дерева 4.3 Вычисление функций nullable, firstpos, lastpos 4.4 Построение followpos 4.4.1 Пример 4.5 Построение ДКА 4.5.1 Пример 5 Построение ДКА с минимальным количеством состояний 5.1 Инициализация 5.2 Построение разбиения 5.3 Построение приведённого автомата 5.4 Удаление лишних состояний 6 Построение LL(k) анализатора 6.1 Преобразование грамматики 6.1.1 Удаление левой рекурсии 6.1.2 Левая факторизация 6.1.2.1 Пример 6.1.3 Пример преобразования грамматики 6.2 Построение FIRST и FOLLOW 6.2.1 Вычисление FIRST 6.2.1.1 Для терминалов 6.2.1.2 Для нетерминалов 6.2.1.3 Для цепочек 6.2.1.4 Пример 6.2.2 Вычисление FOLLOW 6.2.2.1 Пример 6.3 Составление таблицы 6.3.1 Пример 6.4 Разбор строки 6.4.1 Пример 7 Построение LR(k) анализатора 7.1 Вычисление k в LR(k) 7.2 Пополнение грамматики 7.3 Построение канонической системы множеств допустимых LR(1)-ситуаций 7.3.1 Пример 7.4 Построение таблицы анализатора 7.4.1 Построение таблицы Goto 7.4.2 Построение таблицы Actions 7.4.3 Пример 7.5 Разбор цепочки 7.5.1 Пример 8 Трансляция арифметических выражений (алгоритм Сети-Ульмана) 8.1 Построение дерева 8.1.1 Пример 8.2 Разметка дерева (вычисление количества регистров) 8.2.1 Пример 8.3 Распределение регистров и генерация кода 8.3.1 Пример 9 Трансляция логических выражений 9.1 Построение дерева 9.1.1 Пример 9.2 Разметка дерева 9.2.1 Пример 9.3 Генерация кода 9.3.1 Пример 10 Метод сопоставления образцов 10.1 Постановка задачи 10.1.1 Примеры образцов 10.2 Построение промежуточного представления 10.3 Построение покрытия 10.4 Генерация кода 11 Построение РВ по ДКА 12 Построение НКА по праволинейной грамматике 13 Приведение грамматики 13.1 Удаление бесполезных символов 13.1.1 Пример 13.2 Удаление недостижимых символов 13.2.1 Пример

Построение НКА по РВ

Автомат для выражения строится композицией автоматов, соответствующих подвыражениям. На каждом этапе ∃! заключительное состояние, и нет переходов из заключительного состояния и в начальное. Для построения НКА используются следующие преобразования (M(s) и M(t) ниже обозначают соответственно автоматы, соответствующие регулярным выражениям s и t; i и f — некоторые номера состояний НКА):

подвыражение РВ	автомат
ε
a, a ∈ T
s|t
st
s*

Пример

Обычно конечный автомат строится из регулярного выражения, начиная с внутренних символов. То есть, сначала строятся переходы по b и c, потом образуется конструкция b|c, добавляется a, строится автомат для итерации (a(b|c))* и в конце добавляется c.

Построение ДКА по НКА

Необходимо по недетерминированному конечному автомату M = (Q, T, D, q₀, F) построить детерминированный конечный автомат M = (Q', T, D', q'₀, F'). Начальным состоянием для строящегося автомата является ε-замыкание начального состояния автомата исходного. ε-замыкание — множество правил, которые достижимы из данного путём переходов по ε. Далее, пока есть состояния, для которых не построены переходы (переходы делаются по символам, переходы по которым есть в исходном автомате), для каждого символа вычисляется ε-замыкание множества состояний, которые достижимы из рассматриваемого состояния путём перехода по рассматриваемому символу. Если состояние, которое соответствует найденному множеству, уже есть, то добавляется переход туда. Если нет, то добавляется новое полученное состояние.

Пример

Состояие ДКА	Множество состояний НКА	Символы, по которым осуществляется переход
		a	b	c
A	{1, 2, 9}	B	-	C
B	{3, 4, 6}	-	D	E
C	{10}	-	-	-
D	{2, 5, 8, 9}	B	-	C
E	{2, 7, 8, 9}	B	-	C

Результат:

Построение праволинейной грамматики по конечному автомату

Каждому состоянию ставим в соответствие нетерминал. Если есть переход из состояния X в состояние Y по а, добавляем правило X → aY. Для конечных состояний добавляем правила X → ε. Для ε-переходов — X → Y.

Пример 1 (детерминированный конечный автомат)

• A → aB | cC
• B → bD | cE
• C → ε
• D → aB | cC
• E → aB | cC

Пример 2 (недетерминированный конечный автомат)

• 1 → 2 | 9
• 2 → a3
• 3 → 4 | 6
• 4 → b5
• 5 → 8
• 6 → c7
• 7 → 8
• 8 → 2 | 9
• 9 → c10
• 10 → ε

Построение ДКА по РВ

Пусть есть регулярное выражение r. По данному регулярному выражению необходимо построить детерминированный конечный автомат D такой, что L(D) = L(r).

Модификация регулярного выражения

Добавим к нему символ, означающий конец РВ — «#». В результате получим регулярное выражение (r)#.

Построение дерева

Представим регулярное выражение в виде дерева, листья которого — терминальные символы, а внутренние вершины — операции конкатенации «.», объединения «∪» и итерации «*». Каждому листу дерева (кроме ε-листьев) припишем уникальный номер и ссылаться на него будем, с одной стороны, как на позицию в дереве и, с другой стороны, как на позицию символа, соответствующего листу.

Вычисление функций nullable, firstpos, lastpos

Теперь, обходя дерево T сверху-вниз слева-направо, вычислим три функции: nullable, firstpos, и lastpos. Функции nullable, firstpos и lastpos определены на узлах дерева. Значением всех функций, кроме nullable, является множество позиций. Функция firstpos(n) для каждого узла n синтаксического дерева регулярного выражения дает множество позиций, которые соответствуют первым символам в подцепочках, генерируемых подвыражением с вершиной в n. Аналогично, lastpos(n) дает множество позиций, которым соответствуют последние символы в подцепочках, генерируемых подвыражениями с вершиной n. Для узлов n, поддеревья которых (т. е. дерево, у которого узел n является корнем) могут породить пустое слово, определим nullable(n) = true, а для остальных узлов false. Таблица для вычисления nullable, firstpos, lastpos:

узел n	nullable(n)	firstpos(n)	lastpos(n)
ε	true	∅	∅
i ≠ ε	false	{i}	{i}
u ∪ v	nullable(u) or nullable(v)	firstpos(u) ∪ firstpos(v)	lastpos(u) ∪ lastpos(v)
u . v	nullable(u) and nullable(v)	if nullable(u) then firstpos(u) ∪ firstpos(v) else firstpos(u)	if nullable(v) then lastpos(u) ∪ lastpos(v) else lastpos(v)
v*	true	firstpos(v)	lastpos(v)

Построение followpos

Функция followpos вычисляется через nullable, firstpos и lastpos. Функция followpos определена на множестве позиций. Значением followpos является множество позиций. Если i — позиция, то followpos(i) есть множество позиций j таких, что существует некоторая строка ...cd..., входящая в язык, описываемый РВ, такая, что i соответствует этому вхождению c, а j — вхождению d. Функция followpos может быть вычислена также за один обход дерева по следующим двум правилам

1. Пусть n — внутренний узел с операцией «.» (конкатенация); a, b — его потомки. Тогда для каждой позиции i, входящей в lastpos(a), добавляем к множеству значений followpos(i) множество firstpos(b).
2. Пусть n — внутренний узел с операцией «*» (итерация), a — его потомок. Тогда для каждой позиции i, входящей в lastpos(a), добавляем к множеству значений followpos(i) множество firstpos(а).

Пример

Вычислить значение функции followpos для регулярного выражения (a(b|c))*c.

Позиция	Значение followpos
1: (a(b|c))*c	{2, 3}
2: (a(b|c))*c	{1, 4}
3: (a(b|c))*c	{1, 4}
4: (a(b|c))*c	{5}

Построение ДКА

ДКа представляет собой множество состояний и множество переходов между ними. Состояние ДКА представляет собой множество позиций. Построение ДКА заключается в постепенном добавлении к нему необходимых состояний и построении переходов для них. Изначально имеется одно состояние, firstpos(root) (root — корень дерева), у которого не построены переходы. Переход осуществляется по символам из регулярного выражения. Каждому символу соответствует множество позиций {p_i}. Объединение followpos позиций всех символов, входящих в данное состояние и есть состояние в которое необходимо перейти. Если такого состояния нет, то его необходимо добавить. Процесс необходимо повторять, пока не будут построены все переходы для всех состояний.

Пример

Построить ДКА по регулярному выражению (a(b|c))*c.

Состояние ДКА	Символ
	a {1}	b {2}	c {3, 4}
A {1, 4}	B {2, 3}	—	C {5}
B {2, 3}	—	A {1, 4}	A {1, 4}
C {5}	—	—	—

Построение ДКА с минимальным количеством состояний

Инициализация

Разобъём множество состояний на две группы: заключительные состояния (q ∈ F) и остальные (q ∈ S\F).

Построение разбиения

Каждую группу G из текущего разбиения разбиваем на подгруппы так, чтобы состояния s и t из G оказались в одной группе тогда и только тогда, когда для каждого входного символа a состояния s и t имеют переходы по a в состояния из одной и той же группы в исходном разбиении. Полученные подгруппы добавляем в новое разбиение. Повторяем эту операцию для разбиения, заменяя текущее новым, пока разбиение не перестанет меняться.

Построение приведённого автомата

Выберем по одному состоянию из каждой группы в полученном разбиении в качестве представителя для этой группы. Представители будут состояниями приведенного ДКА М. Пусть s — представитель. Предположим, что на входе a в M существует переход из t. Пусть r — представитель группы t. Тогда М имеет переход из a в r по a. Пусть начальное состояние М — представитель группы, содержащей начальное состояние s₀ исходного автомата, и пусть заключительные состояния М — представители в F. Отметим, что каждая группа полученного разбиения либо состоит только из состояний из F, либо не имеет состояний из F.

Удаление лишних состояний

Если М имеет мертвое состояние, т. е. состояние d, которое не является допускающим и которое имеет переходы в себя по любому символу, удалим его из М. Удалим также все состояния, не достижимые из начального.

Построение LL(k) анализатора

Преобразование грамматики

Не всякая грамматика является LL(k)-анализируемой. Грамматика принадлежит классу LL(1), если в ней нет левых рекурсий и проведена левая факторицация. Иногда удаётся преобразовать не LL(1)-грамматики так, чтобы они стали LL(1). Некоторые (точнее, те, которые рассматривались в курсе) преобразования приведены ниже.

Удаление левой рекурсии

Пусть у нас имеется правило вида (здесь и далее в этом разделе, заглавные буквы — нетерминальные символы, строчные — цепочки любых символов):

• A → Aa | Ab | … | Ak | m | n | … | z

Оно не поддается однозначному анализу, поэтому его следует преобразовать.

Легко показать, что это правило эквивалентно следующей паре правил:

• A → mB | nB | … | zB
• B → aB | bB | … | kB | ε

Левая факторизация

Суть данной процедуры — устранение неоднозначности в выборе правил по левому символу. Для этого находится общий левый префикс и то, что за ним может следует выносится в новое правило (строчные буквы — цепочки любых символов)

Пример

• A → ac | adf | adg | b

Преобразуется в

• A → aB | b
• B → c | df | dg

Что в свою очередь превратится в

• A → aB | b
• B → c | dС
• С → f | g

Пример преобразования грамматики

G = {{S, A, B}, {a, b, c}, P, S}

P:

• S → SAbB | a
• A → ab | aa | ε
• B → c | ε

Удаление левой рекурсии для S:

• S → aS₁
• S₁ → AbBS₁ | ε

Левая факторизация для A:

• A → aA₁ | ε
• A₁ → b | a

Итоговая грамматика:

• S → aS₁
• S₁ → AbBS₁ | ε
• A → aA₁ | ε
• A₁ → b | a
• B → c | ε

Построение FIRST и FOLLOW

FIRST(α), где α ∈ (N ∪ T)* — множество терминалов, с которых может начинаться α. Если α ⇒ ε, то ε ∈ FIRST(α). Соответственно, значение функции FOLLOW(A) для нетерминала A — множество терминалов, которые могут появиться непосредственно после A в какой-либо сентенциальной форме. Если A может являться самым правым символом в некоторой сентенциальной форме, то заключительный маркер $ также принадлежит FOLLOW(A)

Вычисление FIRST

Для терминалов

• Для любого терминала x, x ∈ T, FIRST(x) = {x}

Для нетерминалов

• Если X — нетерминал, то положим FIRST(X) = {∅}
• Если в грамматике есть правило X → ε, то добавим ε к FIRST(X)
• Для каждого нетерминала X и для каждого правила вывода X → Y₁…Y_k добавим в FIRST(X) множества FIRST всех символов в правой части правила до первого, из которого не выводится ε, включая его

Для цепочек

• Для цепочки символов X₁…X_k FIRST есть объединение FIRST входщих в цепочку символов до первого, у которого ε ∉ FIRST, включая его.

Пример

Посчитать FIRST для всех нетерминалов и правил вывода грамматики:

• S → aS₁
• S₁ → AbBS₁ | ε
• A → aA₁ | ε
• A₁ → b | a
• B → c | ε

FIRST нетерминалов в порядке разрешения зависимостей:

• FIRST(S) = {a}
• FIRST(A) = {a, ε}
• FIRST(A₁) = {b, a}
• FIRST(B) = {c, ε}
• FIRST(S₁) = {a, b, ε}

FIRST для правил вывода:

• FIRST(aS₁) = {a}
• FIRST(AbBS₁) = {a, b}
• FIRST(ε) = {ε}
• FIRST(aA₁) = {a}
• FIRST(a) = {a}
• FIRST(b) = {b}
• FIRST(c) = {c}

Вычисление FOLLOW

Вычисление функции FOLLOW для символа X:

• Пусть FOLLOW(X) = {∅}
• Если X — аксиома грамматики, то добавить в FOLLOW маркер $
• Для всех правил вида A → αXβ добавить FIRST(β)\{ε} к FOLLOW(X) (за X могут следовать те символы, с которых начинается β)
• Для всех правил вида A → αX и A → αXβ, ε ∈ FIRST(β) добавить FOLLOW(A) к FOLLOW(X) (то есть, за X могут следовать все символы, которые могут следовать за A, в случае, если в правиле вывода символ X может оказаться крайним правым)
• Повторять предыдущие два пункта, пока возможно добавление символов в множество

Пример

Посчитать FOLLOW для всех нетерминалов грамматики:

• S → aS₁
• S₁ → AbBS₁ | ε
• A → aA₁ | ε
• A₁ → b | a
• B → c | ε

Результат:

• FOLLOW(S) = {$}
• FOLLOW(S₁) = {$} (S₁ — крайний правый символ в правиле S → aS₁)
• FOLLOW(A) = {b} (после A в правиле S₁ → AbBS₁ следует b)
• FOLLOW(A₁) = {b} (A₁ — крайний правый символ в правиле A → aA₁, следовательно, добавляем FOLLOW(A) к FOLLOW(A₁))
• FOLLOW(B) = {a, b, $} (добавляем FIRST(S₁)\{ε} (следует из правила S₁ → AbBS₁), FOLLOW(S₁) (так как есть S₁ → ε))

Составление таблицы

В таблице M для пары нетерминал-терминал (в ячейке M[A, a]) указывается правило, по которому необходимо выполнять свёртку входного слова. Заполняется таблица следующим образом: для каждого правила вывода A → α выполняются слеудющие действия:

1. Для каждого терминала a ∈ FIRST(α) добавить правило A → α к M[A, a]
2. Если ε ∈ FIRST(α), то для каждого b ∈ FOLLOW(A) добавить A → α к M[A, b]
3. ε ∈ FIRST(α) и $ ∈ FOLLOW(A), добавить A → α к M[A, $]
4. Все пустые ячейки — ошибка во входном слове

Пример

Построить таблицу для грамматики

• S → aS₁
• S₁ → AbBS₁ | ε
• A → aA₁ | ε
• A₁ → b | a
• B → c | ε

Результат:

	a	b	c	$
S	S → aS1 (Первое правило, вывод S → aS1, a ∈ FIRST(aS1))	Error (Четвёртое правило)	Error (Четвёртое правило)	Error (Четвёртое правило)
S1	S1 → AbBS1 (Первое правило, вывод S1 → AbBS1, a ∈ FIRST(AbBS1))	S1 → AbBS1 (Первое правило, вывод S1 → AbBS1, b ∈ FIRST(AbBS1))	Error (Четвёртое правило)	S1 → ε (Третье правило, вывод S1 → ε, ε ∈ FIRST(ε), $ ∈ FOLLOW(S1))
A	A → aA1 (Первое правило, вывод A → aA1, a ∈ FIRST(aA1))	A1 → ε (Второе правило, вывод A1 → ε, b ∈ FOLLOW(A1))	Error (Четвёртое правило)	Error (Четвёртое правило)
A1	A1 → a (Первое правило, вывод A1 → a, a ∈ FIRST(a))	A1 → b (Первое правило, вывод A1 → b, b ∈ FIRST(b))	Error (Четвёртое правило)	Error (Четвёртое правило)
B	B → ε (Второе правило, вывод B → ε, a ∈ FOLLOW(B))	B → ε (Второе правило, вывод B → ε, a ∈ FOLLOW(B))	B → c (Первое правило, вывод B → c, c ∈ FIRST(c))	B → ε (Третье правило, вывод B → ε, $ ∈ FOLLOW(B))

Разбор строки

Процесс разбора строки довольно прост. Его суть в следующем: на каждом шаге считывается верхний символ v из стека анализатора и берется крайний символ c входной цепочки.

• Если v - терминальный символ
  • Если v совпадает с с, то они оба уничтожаются, происходит сдвиг
  • Если v не совпадает с с, то сигнализируется ошибка разбора
• Если v - нетерминальный символ, c возвращается в начало строки, вместо v в стек возвращается правая часть правила, которое берется из ячейки таблицы M[v, c]

Процесс заканчивается, когда и строка и стек дошли до концевого маркера (#).

Пример

разберем строку «aabbaabcb»:

стек	строка	действие
S#	aabbaabcb$	S → aS1
aS1#	aabbaabcb$	сдвиг
S1#	abbaabcb$	S1 → AbBS1
AbBS1#	abbaabcb$	A → aA1
aA1bBS1#	abbaabcb$	сдвиг
A1bBS1#	bbaabcb$	A1 → b
bbBS1#	bbaabcb$	сдвиг
bBS1#	baabcb$	сдвиг
BS1#	aabcb$	B → ε
S1#	aabcb$	S1 → AbBS1
AbBS1#	aabcb$	A → aA1
AbBS1#	aabcb$	A → aA1
aA1bBS1#	aabcb$	сдвиг
A1bBS1#	abcb$	A1 → a
abBS1#	abcb$	сдвиг
bBS1#	bcb$	сдвиг
BS1#	cb$	B → c
cS1#	cb$	сдвиг
S1#	b$	S1 → AbBS1
AbBS1#	b$	A → ε
bBS1#	b$	сдвиг
BS1#	$	B → ε
S1#	$	S1 → ε
#	$	готово

Построение LR(k) анализатора

Вычисление k в LR(k)

Не сущенствует алгоритма, который позволял бы в общем случае для произвольной грамматики вычислить k. Обычно, стоит попробовать построить LR(1)-анализатор. Если у него на каждое множество приходится не более одной операции (Shift, Reduce или Accept), то грамматика LR(0). Если же при построении LR(1)-анализатора возникает конфликт и коллизия, то данная грамматика не является LR(1) и стоит попробовать построить LR(2). Если не удаётся построить и её, то LR(3) и так далее.

Пополнение грамматики

Добавим новое правило S' → S, и сделаем S' аксиомой грамматики. Это дополнительное правило требуется для определения момента завершения работы анализатора и допуска входной цепочки. Допуск имеет место тогда и только тогда, когда возможно осуществить свёртку по правилу S → S'.

Построение канонической системы множеств допустимых LR(1)-ситуаций

В начале имеется множество I₀ с конфигурацией анализатора S' → .S, $. Далее к этой конфигурации применяется операция закрытия до тех пор, пока в результате её применения не перестанут добавляться новые конфигурации. Далее, строятся переходы в новые множества путём сдвига точки на один символ вправо (переходы делаются по тому символу, который стоял перед точкой), и в эти множества добавляются те конфигурации, которые были получины из имеющихся данным образом. Для них также применяется операция закрытия, и весь процесс повторяется, пока не перестанут появляться новые множества.

Пример

Построить каноническую систему множеств допустимых LR(1)-ситуаций для указанной грамматики:

• S' → S
• S → ABA
• A → Aa | ε
• B → cBc | d

Решение:

• Строим замыкание для конфигурации S' → .S, $:
  • S → .ABA, $
• Для полученных конфигураций (S → .ABA, $) также строим замыкание:
  • A → .Aa, c
  • A → .Aa, d
  • A → ., c
  • A → ., d
• Для полученных конфигураций (A → .Aa, c; A → .Aa, d) также строим замыкание:
  • A → .Aa, a
  • A → ., a
• Больше конфигураций в состоянии I₀ построить нельзя — замыкание построено

• Из I₀ можно сделать переходы по S и A и получить множество конфигураций I₁ и I₂, состоящее из следующих элементов:
  • I₁ = {S' → S., $}
  • I₂ = {S → A.BA, $; A → A.a, c; A → A.a, d; A → A.a, a}
• I₁ не требует замыкания
• Построим замыкание I₂:
  • B → .cBc, a
  • B → .cBc, $
  • B → .d, a
  • B → .d, $
• Аналогично строятся все остальные множества.

Построение таблицы анализатора

Заключительным этапом построения LR(1)-анализатора является построение таблиц Action и Goto. Таблица Action строится для символов входной строки, то есть для терминалов и маркера конца строки $, таблица Goto строится для символов грамматики, то есть для терминалов и нетерминалов.

Построение таблицы Goto

Таблица Goto показывает, в какое состояние надо перейти при встрече очередного символа грамматики. Поэтому, если в канонической системе множеств есть переход из I_i в I_j по символу A, то в Goto(I_i, A) мы ставим состояние I_j. После заполнения таблицы полагаем, что во всех пустых ячейках Goto(I_i, A) = Error

Построение таблицы Actions

• Если есть переход по терминалу a из состояния I_i в состояние I_j, то Action(I_i, a) = Shift(I_j)
• Если A ≠ S' и есть конфигруация A → α., a, то Action(I_i, a) = Reduce(A → α)
• Для состояния I_i, в котором есть конфигурация S' → S., $, Action(I_i, $) = Accept
• Для всех пустых ячеек Action(I_i, a) = Error

Пример

Построить таблицы Action и Goto для грамматики

• S' → S
• S → ABA
• A → Aa | ε
• B → cBc | d

Решение:

	Action				Goto
	a	c	d	$	S	S'	A	B	a	c	d
I0	Reduce(A → ε)	Reduce(A → ε)	Reduce(A → ε)		I1		I2
I1				Accept
I2	Shift(I6)	Shift(I4)	Shift(I5)					I3	I6	I4	I5
I3	Reduce(A → ε)			Reduce(A → ε)			I13
I4		Shift(I8)	Shift(I9)					I7		I8	I9
I5	Reduce(B → d)			Reduce(B → d)
I6	Reduce(A → Aa)	Reduce(A → Aa)	Reduce(A → Aa)
I7		Shift(I10)								I10
I8		Shift(I8)	Shift(I9)					I11		I8	I9
I9		Reduce(B → d)
I10	Reduce(B → cBc)			Reduce(B → cBc)
I11		Shift(I12)								I12
I12		Reduce(B → cBc)
I13	Shift(I14)			Reduce(S → ABA)					I14
I14	Reduce(A → Aa)			Reduce(A → Aa)

Разбор цепочки

На каждом шаге считывается верхний символ v из стека анализатора и берется крайний символ c входной цепочки.

Если в таблице дейстивий на пересечении v и c находится:

• Shift(I_k), то в стек кладется с и затем I_k. При этом c удаляется из строки.
• Reduce(A → u), то из верхушки стека вычищаются все терминальные и нетерминальные символы, составляющие цепочку u, после чего смотрится состояние I_m, оставшееся на верхушке. По таблице переходов на пересечении I_m и A находится следующее состояние I_s. После чего в стек кладется A, а затем I_s. Строка остается без измененеий.
• Accept, то разбор закончен
• пустота - ошибка

Пример

Построим разбор строки aaaccdcc:

Стек	Строка	Действие
I0	aaaccdcc$	Reduce(A → ε), goto I2
I0 A I2	aaaccdcc$	Shift(I6)
I0 A I2 a I6	aaccdcc$	Reduce(A → Aa), goto I2
I0 A I2	aaccdcc$	Shift(I6)
I0 A I2 a I6	accdcc$	Reduce(A → Aa), goto I2
I0 A I2	accdcc$	Shift(I6)
I0 A I2 a I6	ccdcc$	Reduce(A → Aa), goto I2
I0 A I2	ccdcc$	Shift(I4)
I0 A I2 c I4	cdcc$	Shift(I8)
I0 A I2 c I4 c I8	dcc$	Shift(I9)
I0 A I2 c I4 c I8 d I9	cc$	Reduce(B → d), goto I11
I0 A I2 c I4 c I8 B I11	cc$	Shift(I12)
I0 A I2 c I4 c I8 B I11 c I12	c$	Reduce(B → cBc), goto I7
I0 A I2 c I4 B I7	c$	Shift(I10)
I0 A I2 c I4 B I7 c I10	$	Reduce(B → cBc), goto I3
I0 A I2 B I3	$	Reduce(A → ε), goto I13
I0 A I2 B I3 A I13	$	Reduce(S → ABA), goto I1
I0 S I1	$	Accept

Трансляция арифметических выражений (алгоритм Сети-Ульмана)

Примечание. Код генерируется doggy style Motorola-like, то есть

Op Arg1, Arg2

обозначает

Arg2 = Arg1 Op Arg2

Построение дерева

Дерево строится как обычно для арифметического выражения: В корне операция с наименьшим приоритетом, далее следуют операции с приоритетом чуть выше и так далее. Скобки имеют наивысший приоритет. Если имеется несколько операций с одинаковым приоритетом — a op b op c, то дерево строится как для выражения (a op b) op с.

Пример

Построить дерево для выражения a + b / (d + a − b × c / d − e) + c × d

Решение: Запишем выражение в виде

((a) + ((b) / ((((d) + (a)) − ((b) × (c)) / (d)) − (e)))) + ((c) × (d))

Тогда в корне каждого поддерева будет операция, а выражения в скобках слева и справа от неё — её поддеревьями. Например, для подвыражения ((b) × (c)) / (d) в корне соответствующего поддерева будет операция «/», а её поддеревьями будут являться подвыражения ((b) × (c)) и (d).

Разметка дерева (вычисление количества регистров)

Далее необходимо вычислить для каждого поддерева, сколько регистров потребуется для его вычисления. Делается это разметкой дерева снизу вверх по следующим правилам:

• Если вершина — левый лист (то есть, переменная), то помечаем её нулём.
• Если вершина — правый лист, то помечаем её единицей
• Если мы разметили для некоторй вершины оба её поддерева, то её размечаем следующим образом:
  • Если левое и правое поддеревья помечены разными числами, то выбираем наибольшее из них
  • Если левое и правое поддеревья помечены одинаковыми числами, то данному поддереву сопоставляем число, на единицу большее того, которым помечены поддеревья

Разметка листьев	Разметка дерева с одинаковыми поддеревьями	Левое поддерево помечено большим числом	Правое поддерево помечено большим числом

Пример

Разметить дерево, построенное для выражения a + b / (d + a − b × c / d − e) + c × d

Распределение регистров и генерация кода

Распределение регистров происходит следующим образом:

• Корню назначается R0
• Если метка левого потомка меньше или равна метке правого, то левому потомку назначается регистр на единицу больший, чем предку, а правому — такой же, как и предку.
• Если метка левого потомка больше метки правого, то правому потомку назначается регистр на единицу больший, чем предку, а левому — такой же, как и предку.

Формируется код путём обхода дерева снизу вверх следующим образом:

1. Для вершины с меткой 0 код не генерируется

2. Если вершина — лист X с меткой 1 и регистром Ri, то ему сопоставляется код

MOVE X, Ri

3. Если вершина внутренняя c регистром Ri и её левый потомок — лист X с меткой 0, то ей соответствует код

<Код правого поддерева>
Op X, Ri

4. Если поддеревья вершины с регистром Ri — не листья и метка правой вершины больше или равна метке левой (у которой регистр Rj, j = i + 1), то вершине соответствует код

<Код правого поддерева>
<Код левого поддерева>
Op Rj, Ri

5. Если поддеревья вершины с регистром Ri — не листья и метка правой вершины (у которой регистр Rj, j = i + 1) меньше метки левой, то вершине соответствует код

<Код левого поддерева>
<Код правого поддерева>
Op Ri, Rj
MOVE Rj, Ri

При этом нельзя сразу сделать Op Rj, Ri так как Op в общем случае некоммутативна. В случае, если Op коммутативна, делать Op Rj, Ri вместо Op Ri, Rj; MOVE Rj, Ri можно всё равно нельзя.

Общее правило: выписывать код снизу вверх сначала для вершины с большей меткой, потом с меньшей (если метки равны, то сначала для правой).

Пример

Распределить регистры и сгенерировать код для выражения a + b / (d + a − b × c / d − e) + c × d

Решение:

Распределение регистров показано на графике справа. Сгенерированный код:

MOVE d, R0 ;R0 = d
MOVE c, R1 ;R1 = c
MUL b, R1  ;R1 = (b × c)
DIV R1, R0 ;R0 = (b × c) / d
MOVE a, R1 ;R1 = a
ADD d, R1  ;R1 = a + d 
SUB R1, R0 ;R0 = (a + d) − ((b × c) / d)
MOVE e, R1 ;R1 = e 
SUB R0, R1 ;R1 = ((a + d) − ((b × c) / d)) − e
MOVE R1, R0;R0 = ((a + d) − ((b × c) / d)) − e
DIV b, R0  ;R0 = b / (((a + d) − ((b × c) / d)) − e)
ADD a, R0  ;R0 = a + (b / (((a + d) − ((b × c) / d)) − e))
MOVE d, R1 ;R1 = d
MUL c, R1  ;R1 = c × d
ADD R0, R1 ;R1 = (a + (b / (((a + d) − ((b × c) / d)) − e))) + (c × d)
MOVE R1, R0;R0 = (a + (b / (((a + d) − ((b × c) / d)) − e))) + (c × d)

Трансляция логических выражений

В данном разделе показан способ генерации кода для ленивого вычисления логических выражений. В результате работы алгоритма получается кусок кода, который с помощью операций TST, BNE, BEQ вычисляет логическое выражение путём перехода на одну из меток: TRUELAB или FLASELAB.

Построение дерева

Дерево логического выражения отражает порядок его вычисления в соответствии с приоритетом операций, то есть, для вычисления значения некоего узла дерева (который есть операция от двух операндов, являющимися поддеревьями узла) мы должны сначала вычислить значения его поддеревьев.

Приоритет операций: наивысший приоритет у операции NOT, далее идут AND и OR. Если в выражении используются другие логические операции то они должны быть выражены через эти три определённым образом (обычно, других операций нет и преобразования выражения не требуется). Ассоциативность у операций одного приоритета — слева направо, то есть A and B and C рассматривается как (A and B) and C

Пример

Построить дерево для логического выражения not A or B and C and (B or not C).

Решение: см. схему справа.

Разметка дерева

Для каждой вершины дерева вычисляются 4 атрибута:

• Номер узла
• Метка, куда необходимо перейти, если выражение в узле — истина (true label, tl)
• Метка, куда необходимо перейти, если выражение в узле — ложь (false label, fl)
• Метка-знак (sign) (подробнее см. далее)

Нумерация вершин выполняется в произвольном порядке, единственным условием является уникальность номеров узлов.

Разметка дерева производится следующим образом:

• В tl указывается номер вершины, в который делается переход или truelab, если данная вершина true
• В fl указывается номер вершины, в который делается переход или falselab, если данная вершина false

Sign указывает то, в каком случае можно прекратить вычисления текущего поддерева.

Таким образом:

Операнд	fl	tl	sign
Левый операнд OR	Номер правого операнда	tl родительского узла	true
Правый операнд OR	fl родительского узла	tl родительского узла	sign родительского узла
Левый операнд AND	fl родительского узла	Номер правого операнда	false
Правый операнд AND	fl родительского узла	tl родительского узла	sign родительского узла
Операнд NOT	tl родительского узла	fl родительского узла	отрицание sign родительского узла

Пример

Разметить дерево, построенное для логического выражения not A or B and C and (B or not C).

Генерация кода

Машинные команды, используемы в сгенерированном коде:

• TST <boolean value> — проверка аргумента на истинность и установка флага, если аргумент ложен
• BNE <label> — переход по метке в случае, если флаг не установлен, то есть проверяенное при помощи TST условие истинно
• BEQ <label> — переход по метке в случае, если флаг установлен, то есть проверяенное при помощи TST условие ложно

Построение кода производится следующим образом:

• дерево обходится от корня, для AND и OR сначала обходится левое поддерево затем правое
• для каждой пройденной вершины печатается ее номер (метка)
• для листа A(номер, tl, fl, sign) печатается TST A
  • если sign == true, печатается BNE tl
  • если sign == false, печатается BEQ fl

Пример

Для рассмотренного выше выражения сгенерится следующий код:

1:2:4:    TST A   
          BEQ TRUELAB
3:5:7:    TST B   
          BEQ FALSELAB
8:        TST C   
          BEQ FALSELAB
6:9:      TST B   
          BNE TRUELAB   
10:11:    TST C   
          BNE FALSELAB
TRUELAB:
FALSELAB:

Метод сопоставления образцов

Идея метода заключается в том, что для одного и того же участка программы может быть код сгенерирован различными способами, и, как следствие, можно добиться оптимизации по тому или иному параметру.

Постановка задачи

Имеется множество образцов, для каждого из которых определён кусок прромежуточного представления, для которого он применим, вес и генерируемый код. Есть дерево промежуточного представления, представляющее собой фрагмент программы, для которой необходимо код сгенерировать. Целью является построение такого покрытия дерева промежуточного представления образцами, чтобы суммарный вес образцов был минимален.

Образцы - это ассемблерные команды и деревья разбора, которые им соответствуют. Про каждый образец известо время его выполнения (в тактах). С их помощью и будем генерировать оптимальный (по времени выполнения) код.

Примеры образцов

Построение промежуточного представления

Сначала строим дерево разбора для всего выражения.

Построение покрытия

Теперь для каждой вершины (перебираем их в порядке от листьев к корню) будем генерировать оптимальный код для ее поддерева. Для этого просто переберем все образцы, применимые в данной вершине. Время выполнения при использовании конкретного образца будет складываться из времени вычисления его аргументов (а оптимальный код для их вычисления мы уже знаем благодаря порядку обхода дерева) и времени выполнения самого образца. Из всех полученных вариантов выбираем лучший - он и будет оптимальным кодом для поддерева данной вершины. В корне дерева получим оптимальный код для всего выражения.

Генерация кода

Код для всех вершин выписывать не обязательно - достаточно записать минимальное необходимое время и образец, которым нужно воспользоваться. Все остальное из этого легко восстанавливается.

Регистров у нас в этих задачах бесконечное количестов, так что каждый раз можно использовать новый.

Построение РВ по ДКА

Построение НКА по праволинейной грамматике

Приведение грамматики

Для того чтобы преобразовать произвольную КС-грамматику к приведенному виду, необходимо выполнить следующие действия:

• удалить все бесплодные символы;
• удалить все недостижимые символы;

Удаление бесполезных символов

Вход: КС-грамматика G = (T, N, P, S).

Выход: КС-грамматика G’ = (T, N’, P’, S), не содержащая бесплодных символов, для которой L(G) = L(G’).

Метод:

Рекурсивно строим множества N0, N1, ...

1. N₀ = ∅, i = 1.
2. N_i = {A | (A → α) ∈ P и α ∈ (N_{i - 1} ∪ T)*} ∪ N_i-1.
3. Если N_i ≠ N_{i - 1}, то i = i + 1 и переходим к шагу 2, иначе N’ = N_i; P’ состоит из правил множества P, содержащих только символы из N’ ∪ T; G’ = (T, N’, P’, S).

Определение: символ x ∈ (T ∪ N) называется недостижимым в грамматике G = (T, N, P, S), если он не появляется ни в одной сентенциальной форме этой грамматики.

Пример

Удалить бесполезные символы у грамматики G({A, B, C, D, E, F, S}, {a, b, c, d, e, f, g}, P, S)

• S → AcDe | CaDbCe | SaCa | aCb | dFg
• A → SeAd | cSA
• B → CaBd | aDBc | BSCf | bfg
• C → Ebd | Seb | aAc | cfF
• D → fCE | ac | dEdAS | ε
• E → ESacD | aec | eFf

Решение

• N₀ = ∅
• N₁ = {B (B → bfg), D (D → ac), E (E → aec)}
• N₂ = {B, D, E, C (C → Ebd)}
• N₃ = {B, D, E, C, S (S → aCb)}
• N₄ = {B, D, E, C, S} = N₃

G'({B, C, D, E, S}, {a, b, c, d, e, f, g}, P', S)

• S → CaDbCe | SaCa | aCb
• B → CaBd | aDBc | BSCf | bfg
• C → Ebd | Seb
• D → fCE | ac | ε
• E → ESacD | aec

Удаление недостижимых символов

Вход: КС-грамматика G = (T, N, P, S)

Выход: КС-грамматика G’ = (T’, N’, P’, S), не содержащая недостижимых символов, для которой L(G) = L(G’).

Метод:

1. V₀ = {S}; i = 1.
2. V_i = {x | x ∈ (T ∪ N), (A → αxβ) ∈ P и A ∈ V_{i - 1}} ∪ V_i-1.
3. Если V_i ≠ V_{i - 1}, то i = i + 1 и переходим к шагу 2, иначе N’ = V_i ∩ N; T’ = V_i ∩ T; P’ состоит из правил множества P, содержащих только символы из V_i; G’ = (T’, N’, P’, S).

Определение: КС-грамматика G называется приведенной, если в ней нет недостижимых и бесплодных символов.

Пример

Удалить недостижимые символы у грамматики G'({B, C, D, E, S}, {a, b, c, d, e, f, g}, P', S)

• S → CaDbCe | SaCa | aCb
• B → CaBd | aDBc | BSCf | bfg
• C → Ebd | Seb
• D → fCE | ac | ε
• E → ESacD | aec

Решение

• V₀ = {S}
• V₁ = {S, C (S → CaDbCe), D (S → CaDbCe), a (S → CaDbCe), b (S → CaDbCe), e (S → CaDbCe)}
• V₂ = {S, C, D, a, b, e, E (C → Ebd), d (C → Ebd), f (D → fCE)}
• V₃ = {S, C, D, E, a, b, d, e, f, c (E → ESacD)}
• V₄ = {S, C, D, E, a, b, d, e, f, c} = V₃

G''({C, D, E, S}, {a, b, c, d, e, f}, P'', S)

• S → CaDbCe | SaCa | aCb
• C → Ebd | Seb
• D → fCE | ac | ε
• E → ESacD | aec