Редактирование: МОТП, Задачи на экзамене

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
-
{{Курс МОТП}}
 
- 
''За нерешение данных задач оценка снижается на балл.'' — Д. П. Ветров
''За нерешение данных задач оценка снижается на балл.'' — Д. П. Ветров
-
==Задача 1. Вывод формул для векторного дифференцирования==
+
==Метод главных компонент (PCA)==
-
Вывести (считаем все матрицы вещественными):
+
Даны р точек в двухмерном пространстве (буду прямо их ручкой у вас на листочке задавать). Найти методом главных компонент первую главную компоненту. Так что вспоминайте как матрицу 2х2 к главным осям приводить и ковариации считать.
-
 
+
-
# <math>\frac{\partial \bar{c}^T\bar{u}}{\partial \bar{u}}=\bar{c}</math>
+
-
# <math>\frac{\partial\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}}=2A^TA\bar{u} - 2A^T\bar{f}</math>
+
-
# <math>\frac{\partial^2\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}^2}=2A^TA</math>
+
-
 
+
-
===Решение===
+
-
 
+
-
====Формула 1====
+
-
<math>\bar{c}^T\bar{u}=\sum_{i=1}^nc_iu_i \Rightarrow \frac{\partial \bar{c}^T\bar{u}}{\partial u_i}=c_i \Rightarrow \frac{\partial \bar{c}^T{u}}{\partial \bar{u}} = \bar{c}</math>
+
-
 
+
-
====Формула 2====
+
-
Далее через <math>\bar{a}_i</math> всюду обозначен столбец матрицы <math>A</math> с номером <math>i</math>.
+
-
 
+
-
<math>\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2 = (A\bar{u}-\bar{f})^T(A\bar{u}-\bar{f})=(A\bar{u})^TA\bar{u}-2\bar{f}^TA\bar{u}+\bar{f}^T\bar{f}</math>
+
-
 
+
-
<math>\bar{f}^TA\bar{u}=\bar{f}^T(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n) \Rightarrow \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial u_i} = \bar{f}^T\bar{a}_i = (\bar{f},\bar{a}_i) = \bar{a}_i^T\bar{f} \Rightarrow \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} = A^T\bar{f}</math>
+
-
 
+
-
<math>(A\bar{u})^TA\bar{u}=(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n)^T(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nu_iu_j\bar{a}_i^T\bar{a}_j \Rightarrow \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial u_i} = 2\sum_{j=1}^nu_j\bar{a}_i^T\bar{a}_j \Rightarrow \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}}=2A^TA\bar{u}</math>
+
-
 
+
-
<math>\frac{\partial\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}} = \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} - 2 \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} = 2A^TA\bar{u} - 2A^T\bar{f}</math>
+
-
 
+
-
====Формула 3====
+
-
Далее через <math>\bar{b}_i</math> всюду обозначен столбец матрицы <math>B</math> с номером <math>i</math>.
+
-
 
+
-
<math>\frac{\partial^2\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}^2}=\frac{\partial 2A^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}}=\frac{\partial B\bar{u}}{\partial \bar{u}}</math>
+
-
 
+
-
<math>B\bar{u}=\bar{b}_1u_1+\dots+\bar{b}_nu_n \Rightarrow \frac{\partial B\bar{u}}{\partial u_i}=b_i \Rightarrow \frac{\partial B\bar{u}}{\partial \bar{u}}=B=2A^TA</math>
+
-
 
+
-
==Задача 2. Поиск нормального псевдорешения==
+
-
Найти нормальное псевдорешение для системы линейных уравнений.
+
-
===Решение===
+
-
 
+
-
'''В чём суть''': Мы хотим решить несовместную систему линейных уравнений <math>Ax \approx b</math>. Для этого мы будем минимизировать квадрат нормы невязки, т.е найдём <math>x</math> такой, что при нём квадрат нормы невязки будет наименьшим: <math>{\|Ax-b\|}^2\to min_{x}</math>. Теперь по шагам:
+
-
 
+
-
1. Представим норму в матричном виде и раскроем скалярное произведение:
+
-
 
+
-
<math>{\|Ax-b\|}^2=\langle Ax-b,Ax-b \rangle = {(Ax-b)}^{T}(Ax-b) = </math>
+
-
 
+
-
<math> = {(Ax)}^{T}Ax-b^{T}Ax-{(Ax)}^{T}b+b^{T}b = x^{T}A^{T}Ax-2x^{T}A^{T}b+b^{T}b</math>
+
-
 
+
-
2. Теперь возьмём производную и приравняем её к нулю:
+
-
 
+
-
<math>\frac{\partial}{\partial x}(x^{T}A^{T}Ax-2x^{T}A^{T}b+b^{T}b) = 2{A}^{T}Ax - 2{A}^{T}b = 0</math>
+
-
 
+
-
3. Из этого получаем <math>x</math>:
+
-
 
+
-
<math>x={({A}^{T}A)}^{-1}{A}^{T}b</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
==Задача 3. Метод главных компонент (PCA)==
+
-
Даны ''р'' точек в двухмерном пространстве. Найти методом главных компонент первую главную компоненту.
+
===Решение===
===Решение===
Строка 61: Строка 8:
Рассмотрим следующую задачу: <math>p=5</math>, <math>x_1=(1,1)</math>, <math>x_2=(1,2)</math>, <math>x_3=(3,2)</math>, <math>x_4=(4,1)</math>, <math>x_5=(6,4)</math>.
Рассмотрим следующую задачу: <math>p=5</math>, <math>x_1=(1,1)</math>, <math>x_2=(1,2)</math>, <math>x_3=(3,2)</math>, <math>x_4=(4,1)</math>, <math>x_5=(6,4)</math>.
-
Находим <math>\bar{x}=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^px_i=(3,2)</math>.
+
Находим<math> \bar{x}=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^px_i=(3,2)</math>.
Находим <math>
Находим <math>
Строка 68: Строка 15:
</math>
</math>
-
Решаем <math>|S-\lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda=2.4\pm \sqrt{3.4}</math>.
+
Решаем <math>|S-\lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda=2.4\pm \sqrt{3.4}</math>
-
Находим собственный вектор, соответствующий <math>\lambda_1=2.4+\sqrt{3.4}</math>, решая <math>(S-\lambda_1I)\hat{d}=0</math>. Получаем <math>\hat{d}=(0.9085, 0.4179)</math> — собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы ковариации. Он и будет являться первой главной компонентой.
+
Находим собственный вектор, соответствующий <math>\lambda_1=2.4+\sqrt{3.4}</math>, решая <math>(S-\lambda_1I)\hat{d}=0</math>. Получаем <math>\hat{d}=(0.9085, 0.4179)</math> - собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы ковариации. Он и будет являться первой главной компонентой.
-
==Задача 4. Метод максимального правдоподобия (ММП)==
+
Подробные вычисления не приведены. Можете сами повторить и сверить результаты. Однако сильно не надейтесь найти ошибку, решение проверено в MATLAB.
 +
 
 +
==Метод максимального правдоподобия (ММП)==
Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Не сложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.
Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Не сложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.
Строка 102: Строка 51:
<math>\frac{\partial \log p(X|\lambda)}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n|x_i|=0 \Rightarrow \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i|</math>
<math>\frac{\partial \log p(X|\lambda)}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n|x_i|=0 \Rightarrow \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i|</math>
-
==Задача 5. Линейная регрессия==
+
==Правило множителей Лангранжа==
-
Даны 3-4 точки в двухмерном пространстве - одна координата, это х, другая - t. Задача построить по ним линейную регрессию вида <math>\hat{t}=kx+b</math>, т.е. найти коэффициенты <math>k</math> и <math>b</math>.
+
-
 
+
-
===Решение===
+
-
 
+
-
<math>E(T,X,k,b)=\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)^2</math>
+
-
 
+
-
<math>\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial k}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-x_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)x_i=0</math>
+
-
 
+
-
<math>\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial b}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-1)=0 \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i)=b</math>
+
-
 
+
-
<math>k \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^nt_ix_i-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)</math>
+
-
 
+
-
Подставляем значения для <math>x_i</math> и <math>t_i</math>, получаем <math>k</math>, затем <math>b</math>. Решение проверено на нескольких наборах данных в MATLAB.
+
-
 
+
-
Еще один вариант - посчитать напрямую <math>(k,b)=(X^TX)^{-1}X^TY</math>, где <math>X</math> - матрица, первый столбец которой составлен из <math>x_i</math>, второй - из единиц, а <math>Y</math> - столбец из <math>t_i</math>.
+
-
 
+
-
Либо еще другой вариант: <math>k = \frac{cov(X,T)}{DX}</math>, <math>b = \overline{T} - k\overline{X}</math>
+
-
 
+
-
== Задача 6. Правило множителей Лангранжа==
+
Обязательно кому-то дам задачку на условную максимизацию квадратичной функции с линейным ограничением в виде равенства. Писанины там немного, но вот без правила множителей Лагранжа обойтись вряд ли удастся.
Обязательно кому-то дам задачку на условную максимизацию квадратичной функции с линейным ограничением в виде равенства. Писанины там немного, но вот без правила множителей Лагранжа обойтись вряд ли удастся.
Строка 145: Строка 75:
<math>\Rightarrow x=y-1 \Rightarrow 2(y-1)-6y=-4y-2=\lambda \Rightarrow -10(y-1)+2y-4y-2=8-12y=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3} \Rightarrow x=-\frac{1}{3}</math>.
<math>\Rightarrow x=y-1 \Rightarrow 2(y-1)-6y=-4y-2=\lambda \Rightarrow -10(y-1)+2y-4y-2=8-12y=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3} \Rightarrow x=-\frac{1}{3}</math>.
-
(По-моему, гораздо проще без функции Лагранжа: <math>y=x+1; f(x)=-6x^2-4x-3; x=-b/2a=-4/12=-1/3</math>)
+
==Линейная регрессия==
 +
Даны 3-4 точки в двухмерном пространстве - одна координата, это х, другая - t. Задача построить по ним линейную регрессию вида <math>\hat{t}=kx+b</math>, т.е. найти коэффициенты <math>k</math> и <math>b</math>.
- 
-
==Задача 8. Марковская сеть==
 
-
Дана марковская сеть с бинарными переменными вида решетка:
 
- 
-
---рисунок---
 
- 
-
Пусть все унарные энергии совпадают для всех вершин
 
-
<math> \Theta(x_i)=\Theta(x)</math>
 
-
и равны
 
-
<math>\Theta(0)=a, \Theta(1)=b</math>. Аналогично все бинарные энергии совпадают между собой
 
-
<math>
 
-
\Theta_{ij}(x_i; x_j) =
 
-
\Theta(x; y)
 
-
</math>
 
-
и равны
 
-
<math>
 
-
\Theta(0; 0) = c;
 
-
\Theta(0; 1) = d;
 
-
\Theta(1; 0) = e;
 
-
\Theta(1; 1) = f.
 
-
</math>
 
-
Требуется выполнить репараметризацию в этом графе так, чтобы все энергии
 
-
<math>
 
-
\Theta_{ij}(0; 0) = \Theta_{ij}(1; 1) = 0
 
-
</math>.
 
===Решение===
===Решение===
-
[[Изображение:Репараметризация.jpg|600px|Черновик]]
 
-
== Задача 10. ==
+
<math>E(T,X,k,b)=\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)^2</math>
-
=== Решение ===
+
-
g - гамма, a - альфа, b - бета.
+
-
Очевидно, выборка из наблюдений дискретной случайно величины со следующим распределением:
+
-
1 с вероятностью ga
+
<math>\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial k}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-x_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)x_i=0</math>
-
2 с вероятностью g(1-a)+(1-g)(1-b)
+
<math>\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial b}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-1)=0 \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i)=b</math>
-
3 с вероятностью b(1-g)
+
<math>k \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^nt_ix_i-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)</math>
-
Первый шаг. С учетом начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 0.25, 0.5 и 0.25 соответственно.
+
Подставляем значения для <math>x_i</math> и <math>t_i</math>, получаем <math>k</math>, затем <math>b</math>. Решение проверено на нескольких наборах данных в MATLAB.
-
Распределения скрытой компоненты очевидны:
+
Еще один вариант - посчитать напрямую <math>(k,b)=(X^TX)^{-1}X^TY</math>, где <math>X</math> - матрица, первый столбец которой составлен из <math>x_i</math>, второй - из единиц, а <math>Y</math> - столбец из <math>t_i</math>.
-
 
+
-
Если текущий элемент выборки 1, то Z=0 с вероятностью 1
+
-
 
+
-
Если текущий элемент выборки 3, то Z=1 с вероятностью 1
+
-
 
+
-
Если текущий элемент выборки 2, то Z=0 и 1 с вероятностями по 0.5
+
-
 
+
-
Учитывая данные в задаче числа, показывающие количество единиц, двоек и троек, получаем, что нужно максимизировать следующую функцию:
+
-
 
+
-
<math>
+
-
30*log(g*a)+60*log(b*(1-g))+20*(0.5*log(g*(1-a)) + 0.5*log((1-g)*(1-b)))
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Для поиска максимума нужно взять производные по a, b, g приравнять их к нулю. После первой итерации получаем новые значения:
+
-
 
+
-
a=3/4
+
-
 
+
-
b=6/7
+
-
 
+
-
g=4/11
+
-
 
+
-
Второй шаг. С учетом нового начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 3/11, 2/11 и 6/11 соответственно.
+
-
 
+
-
Распределения скрытой компоненты рассчитываются аналогично, для X=1 и 3 отличий нет, для X=2 формула новая, но значения вероятностей тоже совпадают с первым шагом:
+
-
 
+
-
P(Z=0)=g*(1-a) / (g*(1-a)+(1-g)*(1-b )) = (4/11 * 1/4) / (2/11) = 1/2
+
-
 
+
-
Таким образом, функция для оптимизации будет такая же, как на предыдущем шаге. Алгоритм сошелся за два шага.
+
-
 
+
-
Ответ:
+
-
 
+
-
a=3/4
+
-
 
+
-
b=6/7
+
-
 
+
-
g=4/11
+
-
 
+
-
== Задача 11. ==
+
-
===Решение===
+
-
P(a=0) = 0.6 ; P(b=0) = 0.592 ; P(a=0 & b=0) = 0.336
+
-
 
+
-
Вероятности получены сложение значений вероятностей всех комбинаций, где выполняется условие. Если бы a и b были независимы, то по определению, третья вероятность была бы произведением первых двух, но это не так, поэтому a и b не независимы.
+
-
 
+
-
Однако a и b независимы при с=0:
+
-
<pre>
+
-
P(a=0 | c=0) = P(a=0 & c=0)/P(c=0) = 0.5 (определение условной вероятности)
+
-
P(b=0 | c=0) = 0.8
+
-
P(a=0 & b=0 | c=0) = P(a=0 & b=0 & c=0)/P(c=0) = 0.4 = P(a=0 | c=0) * P(b=0 | c=0)
+
-
</pre>
+
-
 
+
-
Все остальные соотношения проверяются аналогично.
+
-
 
+
-
== Задача 13. ==
+
-
=== Решение ===
+
-
all.pdf, страницы 168-169.
+
-
 
+
-
Оценка МП <math>%pi</math> - значение первой скрытой переменной, оно нам дано, поэтому вероятность <math>P(t_{11} = 1) = 1, P(t_{12} = 1) = 0</math>.
+
-
 
+
-
Оценка МП для матрицы A записана на странице 169. Содержательно эта формула означает следующее. Элемент A[i,j] - вероятность прехода из состояния i в состояние j. Оценка МП - отношение количества известных нам переходов из i в j к количеству раз, которые наблюдали систему в состоянии i. В данной задаче мы наблюдали состояние 1 100 раз, состояние 2 - 99 раз (последний раз не считается). Переход 1->2 наблюдали 25 раз, переход 1->1 - 75 раз, переход 2->1 - 24 раза, переход 2->2 - 75 раз.
+
-
 
+
-
Итого матрица A:
+
-
 
+
-
<math>
+
-
75/100 ~ 25/100
+
-
</math>
+
-
 
+
-
<math>
+
-
24/99 ~75/99
+
-
</math>
+
-
 
+
-
== Задача 14. Алгоритм Витерби ==
+
-
Программа на python, решающая задачу (алгоритм взят из [http://en.wikipedia.org/wiki/Viterbi_algorithm])
+
-
<pre>
+
-
# Helps visualize the steps of Viterbi.
+
-
def print_dptable(V):
+
-
print " ",
+
-
for i in range(len(V)): print "%7s" % ("%d" % i),
+
-
print
+
-
+
-
for y in V[0].keys():
+
-
print "%.5s: " % y,
+
-
for t in range(len(V)):
+
-
print "%.7s" % ("%f" % V[t][y]),
+
-
print
+
-
+
-
def viterbi(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
+
-
V = [{}]
+
-
path = {}
+
-
+
-
# Initialize base cases (t == 0)
+
-
for y in states:
+
-
V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
+
-
path[y] = [y]
+
-
+
-
# Run Viterbi for t > 0
+
-
for t in range(1,len(obs)):
+
-
V.append({})
+
-
newpath = {}
+
-
+
-
for y in states:
+
-
(prob, state) = max([(V[t-1][y0] * trans_p[y0][y] * emit_p[y][obs[t]], y0) for y0 in states])
+
-
V[t][y] = prob
+
-
newpath[y] = path[state] + [y]
+
-
+
-
# Don't need to remember the old paths
+
-
path = newpath
+
-
+
-
print_dptable(V)
+
-
(prob, state) = max([(V[len(obs) - 1][y], y) for y in states])
+
-
return (prob, path[state])
+
-
 
+
-
states = ('first', 'second')
+
-
+
-
observations = ('0', '0', '1', '0', '0', '1', '1')
+
-
+
-
start_probability = {'first': 0.5, 'second': 0.5}
+
-
+
-
transition_probability = {
+
-
'first' : {'first': 0.9, 'second': 0.1},
+
-
'second' : {'first': 0.2, 'second': 0.8},
+
-
}
+
-
+
-
emission_probability = {
+
-
'first' : {'0': 0.8, '1': 0.2},
+
-
'second' : {'0': 0.2, '1': 0.8},
+
-
}
+
-
 
+
-
def example():
+
-
return viterbi(observations,
+
-
states,
+
-
start_probability,
+
-
transition_probability,
+
-
emission_probability)
+
-
print example()
+
-
</pre>
+
-
Вывод программы:
+
-
<pre>
+
-
0 1 2 3 4 5 6
+
-
secon: 0.10000 0.01600 0.02304 0.00368 0.00074 0.00215 0.00137
+
-
first: 0.40000 0.28800 0.05184 0.03732 0.02687 0.00483 0.00087
+
-
(0.0013759414272000007, ['first', 'first', 'first', 'first', 'first', 'second', 'second'])
+
-
</pre>
+
-
 
+
-
То есть наиболее вероятная последовательность состояний: 1-1-1-1-1-2-2
+
-
 
+
-
== Задача 15. Алгоритм вперед-назад ==
+
-
=== Решение ===
+
-
Описание алгоритма с простыми обозначениями можно прочитать здесь: [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%91%D0%B0%D1%83%D0%BC%D0%B0-%D0%92%D0%B5%D0%BB%D1%88%D0%B0]
+
-
 
+
-
Значения "альфы" (первой и второй) на каждом шаге:
+
-
 
+
-
1: 0.4 и 0.1
+
-
 
+
-
2: 0.304 и 0.024
+
-
 
+
-
3: 0.05568 и 0.03968
+
-
 
+
-
Значения "беты" на каждом шаге, от третьего к первому:
+
-
 
+
-
3: 1 и 1
+
-
 
+
-
2: 0.61 и 0.68
+
-
 
+
-
1: 0.4664 и 0.1576
+
-
 
+
-
Нормировочные константы:
+
-
 
+
-
3: 0.09536
+
-
 
+
-
2: 0.20176
+
-
1: 0.20232
 
-
И наконец, маргинальные распределения (гамма нулевое - вероятность того, что система была в состоянии 0):
+
== Доказательство формул ==
-
Для t3: 0 с вероятностью ~0.58
+
<math><c,u> = c_1u_1 + ... + c_nu_n</math>
-
Для t2: 0 с вероятностью ~0.919
+
производная по вектору -- это вектор, сотоавленный из покомпанентных производных:
 +
<math> \frac{d<c,u>}{du_1} = c_1u_1' + u_1c_1' + ... = c_1</math>
 +
и так для каждой компоненты, следовательно получаем итоговый вектор -- <math> c_1 </math>
-
Для t1: 0 с вероятностью ~0.922
+
<math>(||Au-f||^2)' = 2(Au-f)(Au-f)' = 2A(Au-f)</math>
-
{{Курс МОТП}}
+
и аналогично 2-я формула

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!


Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%9C%D0%9E%D0%A2%D0%9F%2C_%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D1%8D%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5
Разделы