Редактирование: Математическая Логика, 01 лекция (от 24 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
-
[[Математическая Логика, лекция 02 (от 25 сентября)|Следующая лекция]]
+
== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-
 
+
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-
zakharov@mathcyb.cs.msu.su
+
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-
 
+
Dig yourself a grave - you will need it.
-
mathcyb.cs.msu.su/courses/ongoing.html
+
-
 
+
-
== Что изучает логика ==
+
-
 
+
-
Логика обслуживает большое количество наук. Логика изучает законы окружающего мира. Предполагая, что в мире происходит то, что мы представляем, можно заметить, что в нём есть закономерности, какие-то конфигурации возможны, какие-то нет. То есть, возникают закономерности, причём событий разных. Тогда возникает предположение о том, что наряду с частными законами, касающимися физического, химического устройства нашего мира, есть такие законы, которые доминируют над ними всеми — законы причинно-следственной связи. Первая сторона логики.
+
-
 
+
-
Жизнь человека состоит из того, что он пытается предвидеть, что происходит в этом мире, на основании знаний о мире. Человек опирается на законы причино-следоственной связи. То есть, законы влияют на мышление человека. При этом, то, что думает человек о законах, не есть законы. Изучение понимания человека — вторая сторона логики.
+
-
 
+
-
Третья сторона — исследование отражения причинно-следственных законов в языках.
+
-
 
+
-
Отсюда видно, что дисциплины, заинтересованные в логике, достаточно своеобразны. Философия, математика, информатика. Мы будем изучать именно логику для информатики. Это достаточно специализированный курс, который правильнее назвать "прикладная логика".
+
-
 
+
-
Во второй половине курса будет краткий обзор тех направлений, которые интересны для математики. Но в основном для информатики оно интересно в плане законов преобразования информации, основанных на причинно-следственной. связи.
+
-
 
+
-
В первую очередь нас будет интересовать формальная логика.
+
-
 
+
-
Пример: каждый металл — проводник, ртуть — металл ↔ ртуть — проводник.
+
-
 
+
-
Были чудаки в то время, которые механическим способом пытались получать новые знания, были осмеиванны. Свифт в Гулливере осмеял эту мысль.
+
-
 
+
-
Вторая мысль: Если мы сумеем все эти законы математизированные составить настолько полно, что они полностью описывают все законы, то, построив механическое устройство, которое реализует их всех, мы получим универсальный решатель задач.
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
Три закона из разных областей, но они имеют общую форму: ∀R обладает свойством Q; С обладает свойством Q ↔ C обладает свойством Q. Такой закон в формальном виде есть закон формальной логики. Он выражает взаимосвязь между явлениями вне зависимости от их сути. И формальная логика изучает законы такого рода.
+
-
 
+
-
Можно представить эти законы в симольном виде: ∀(R(x) → Q(x)); R(c) ↔ Q(c). Закон в символьной логике.
+
-
 
+
-
Математическая логика изучает законы в символьном виде. Причём лектор будет подавать эти законы под соусом информатики.
+
-
 
+
-
Законы формальной логики есть законы преобразования знаний. Для получения новых знаний необязательно представлять суть знаний, достаточно представить форму, и тогда логика, работая с формами, сможет представить новые знания.
+
-
 
+
-
Можно ли считать, что логика — генератор информации? Нет. Знания мы получаем из жизненного опыта. Логика занимается преобразованием формальной информации. Законы формальной логики — инструменты преобразования информатики.
+
-
 
+
-
== Основная задача формальной логики ==
+
-
 
+
-
Предположим, что есть база знаний, представленная в виде утверждений. У нас есть некое предположение (гипотеза, запрос к БЗ). Нужно выяснить, является ли предположение следствием фактов знаний. То есть, нам нужен инструмент, способный выводить новые знания на основе БЗ.
+
-
 
+
-
Какие приложения можно найти?
+
-
* Экспертные системы. Все следствия из того, что надиктовал уволенный за ненадобностью эксперт, можем получать из ЭС практически автоматически.
+
-
* Автоматизация научных исследований. Курс состоит из того, что сначала надиктовывается фактическая информация, а потом доказываем теоремы, то есть делаем выводы на основании фактов. Это можно делать автоматически. Если мы выразим все факты, то у нас будет ядро АНИ.
+
-
 
+
-
Что для этого нужно уметь?
+
-
* Разработать формальный язык представления знаний. Он должен быть таким, чтобы математика могла работать с его использованиеи как на формальном, так и на смысловом уровне.
+
-
* Reference implementation формальной логики
+
-
* Проверить корректность логических законов
+
-
* Проверить полноту системы формальных законов. То есть проверить, что коли всякое утверждение является следствием, то нужно проверить вывод. То есть, система должна уметь доказывать.
+
-
 
+
-
В каком порядке мы должны применять законы? Мы должны разработать алгоритм, который позволяет делать вывод законов на основании имеющихся. Этим мы будем заниматься в первой части курса.
+
-
 
+
-
Кроме факта наличия алгоритма неоходимо, чтобы он был оптимизирован. Этим будем заниматься во второй части курса.
+
-
 
+
-
== Программирование ==
+
-
 
+
-
Вычисление программы — преобразование одних состояний в другие согласно алгоритму.
+
-
 
+
-
Логический вывод — последовательное постороение по законам формальной логики одних из других, исходя из БЗ.
+
-
 
+
-
Вывод налицо. Соответственно, хотелось бы автоматизировать связанные с этим задачи по аналогии с выполнением программы.
+
-
 
+
-
Существует ли такие иррациональные &alpha; и &beta;, что &alpha;<sup>&beta;</sup> — рациональное? — пример простого неконструированного доказательства.
+
-
 
+
-
Разработкой языка для МЛ займёмся в третьей части курса.
+
-
 
+
-
== Проверка правильности програм ==
+
-
 
+
-
Программист — человек, который тратит вторую половину жизни на то, чтобы исправить ошибки из первой половины.
+
-
 
+
-
Существует задача формальной проверки программ. Для этого нужно:
+
-
 
+
-
* Наличие языка для описание правильности программ
+
-
* Правила логического доказательства языка
+
-
* Алгоритм применения правил
+
-
 
+
-
<!-- педедыв -->
+
-
 
+
-
== История логики ==
+
-
 
+
-
Нельзя исключать влияние личности на создание различных отделов математики и логики.
+
-
 
+
-
=== Аристотель ===
+
-
 
+
-
Первый выявил законы формальной логики, «силогизмы». Написал труд о формальной логике. Открытие того, что законы носят формальный характер — заслуга философа.
+
-
 
+
-
Далее силогизмы расширялись, следовали различные проявления, разная интерпретация: греческие философы считали, что это законы идеального мира, христианские — божий промысел.
+
-
 
+
-
Логика так развивалась 2000 лет, пока её не занялись математики.
+
-
 
+
-
=== Лейбниц ===
+
-
 
+
-
Специалист широкого профиля.
+
-
 
+
-
Ему принадлежит несколько выводов, связанные с логикой. Один из них: «Как законы дифференциальных уравнений создают законы механики, механики позволяют строить механизмы, ... законы логики могут создавать мышление. Более того, можно строить механические устройства для ...»
+
-
 
+
-
Преобразование информации на основе двоичной системы счисления принадлежит Лейбницу.
+
-
 
+
-
=== Джордж Буль ===
+
-
 
+
-
Скромный математик. У него, как у любого истинно английского джентельмена было хобби, философия, законы мышления, он пытался нащупать формальную алгебру для их представления. И он нащупал булеву алгебру, о чём всех оповестил. И для философии, которая искала такой аппарат, получила интересный материал.
+
-
 
+
-
=== Готтлоб Фрегге ===
+
-
 
+
-
Законы Буля описывали довольно малую часть матлога, и он пытался придумать язык для формального её описания. Более того, он считал, что можно представить всю математику таким исключительным языком. Получалось у него плохо, он был немцем, пунктуальным. Тем не менее, он понял, что математическое доказательство это объект математики. Те мне менее, его идеи заразили многих математиков, и появились предпосылки для создания строгой науки, формальной логики, имеющей математические корни.
+
-
 
+
-
=== Давид Гильберт ===
+
-
 
+
-
Совершил значительную работу, завершил геометрию, конкретно, завершил работу Евклида по аксиматизации геометрии. В то время появились многие другие геометрии, и надо было понять, какая из аксиоматик правильная, в частности, показать, что из неё нельзя вывести две противоречивых вещи. Лобачевский долго пытался доказать от противного, но не смог. Завершил это Гильберт, проанализаровав геометрию Евклида, создал систему из 27—28 аксиом, и сказал, что она столь же не противоречива, сколь не противоречива арифетика, кроме того, любая другая альтернативная геометрия столь же не противоречива. Таким образом, формальная логика заработала, она начала решать практические задачи.
+
-
 
+
-
Так как к арифметике сводится всё-всё-всё, Гильберт задался вопросом: а нельзя ли создать аксиоматику для всей математику? Эта система должна быть выразительна настолько, что в ней можно представить любую область математики. Эта система должна была описывать не только числа и фигуры, но и теоремы, утвреждения, доказательства. Тогда бы мы получили математическое здание, внутри которого заключены все истины. Это вроде троллей, которые пытались затащить на небо зеркало, чтобы обсмеять Бога. Это была так называемая программа Гильберта — аксиоматизации математики.
+
-
 
+
-
Поскольку это была суперзадача, то многие математики заинтересовались этой программой.
+
-
 
+
-
Гильберт был очень темпераментный, но, тем не менее, оставил большой след в математике. Всем известна ОТО Эйнштейна, но он был хороший физик и плохой математик, и работал в паре с Гильбертом, который создавал для ОТО математический аппарат. Другое — квантовая физика, там тоже красивая математика. Математики из школы Гильберта и сам Гильберт занимались разработкой математического аппарата для квантовой физики.
+
-
 
+
-
=== Бертран Рассел ===
+
-
 
+
-
Философ, политик, граф, либерал.
+
-
 
+
-
Он разработал формальный язык. Кванторы — его изобретение. Он аксиоматизировал логику. Он заложил при помощи этих законов основы математики. Написал трёхтомник, в котором описал математику формально с нуля. Эта книжка подвела строгий математический базис под всеми основными математическими понятиями.
+
-
 
+
-
Действительно интересный человек, его жизнь — сплошной роман, приблизительно такой же, как жизнь Байрона. Ярый пацифист. Имел беседу с Ленином, в Ленине разочаровался, в социализме — нет. Прочитал лекции в Китае. Занимался пропагандой социализма, изгонялся из факультетов за вольнодумство. Неоднократно арестовывался. Блестящий философ, написал книгу "история западно-европейской философии", ставшую бестселлером (а сейчас «Гарри Поттер» — бестселлер). Написал письмо Кеннеди и Хрущёву, и оба ответили.
+
-
 
+
-
Начало 60-х годов, не было ни одной логической книжки.
+
-
 
+
-
=== Курт Гёдель ===
+
-
 
+
-
Разбил зеркало Гильберта, осколки разлетелись по всему миру, попали во всех математиков и у них изменилось зрение.
+
-
 
+
-
Показал, что нельзя построить ни конечную, ни сколько нибудь хорошую систему аксиом, охватывающую все свойства натуральных чисел. То есть, математика неохватываема.
+
-
 
+
-
=== Альфред Тарский ===
+
-
 
+
-
Объяснил, что такое истина, что такое истинное утверждение. Это важный вопрос, так как до этого занимались только тем, что такое доказуемое и нет.
+
-
 
+
-
Это был общительный математик, оставил много учеников, материалов. Оставил теорию игрушек.
+
-
 
+
-
Допустим, есть яблоко. Его можно разрезать на 5 частей так, что получится два такого же объёма без полостей. Если с полостями, то 4.
+
-
 
+
-
=== Жак Эрбран ===
+
-
 
+
-
Спустя три дня после начала восхождения в честь ... он сорвался и погиб
+
-
 
+
-
=== Герхард Генцен ===
+
-
 
+
-
Те математические законы, которые были, были неудобны. Они были хороши с точки зрения математики, но плохи с точки зрения работы с ними. Он предложил другие варианты доказательства, с которыми легче работать. Нашёл лазейку, которая позволит выйти из теории неаксиоматизации Геделя, используя трасинфинитную индукцию вместо математической и большие числа, можно провести полную аксиоматизацию.
+
-
 
+
-
=== Алан Колмероэ ===
+
-
 
+
-
Не очень значительный, но сделал то, что хотелось бы, чтобы происходило чаще.
+
-
 
+
-
Обратил внимание на то, что логический вывод спец. типа очень похож на вычисление и написал язык Пролог.
+
-
 
+
-
=== Михаил Захарьящев ===
+
-
 
+
-
Автор концепции курса, который лектор читает. Его область изучения — модальные логики.
+
-
 
+
-
== Логические парадоксы ==
+
-
 
+
-
Движущая сила логики — парадоксы. Математики двигают её не просто так, а для решения задач. Математическую логику они развивали для получения инструментария доказательства утвреждений. Чтобы не сталкиваться с парадоксами.
+
-
 
+
-
Примеры парадоксов: парадоксы лжеца и др.
+
-
 
+
-
Парадоксы неизбежны, но формальный подход позволяет ограничить их влияние. Для этого нужны матмодели. Следовательно, нужна матлогика.
+
-
 
+
-
Если нравится решать логические задачи, то лектор рекомендует книгу Реймонд С. Смаллиан "Как же называется эта книга?"
+

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!


Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)
Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0%2C_01_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_24_%D1%81%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8F%D0%B1%D1%80%D1%8F%29
Разделы