Редактирование: Численные Методы, задачи на лекциях

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
-
= [[Численные Методы, 02 лекция (от 13 февраля)|Лекция 2]] =
+
== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-
== Задача 1 ==
+
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-
Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: <math>\frac{m^3 - m}{3}</math>.
+
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-
 
+
Dig yourself a grave - you will need it.
-
=== !!! Решение ===
+
-
{|style="text-align:center"
+
-
!rowspan="2"|Шаг
+
-
!rowspan="2"|Действие
+
-
!colspan="3"|Количество действий на один элемент
+
-
!colspan="3"|Итоговое количество действий
+
-
|-
+
-
!Вычитание
+
-
!Умножение
+
-
!Деление
+
-
!Вычитание
+
-
!Умножение
+
-
!Деление
+
-
|-
+
-
!1: c<sub>1</sub>
+
-
|b<sub>11</sub> = a<sub>11</sub>
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!&nbsp;
+
-
|c<sub>1j</sub> = <sup>a<sub>1j</sub></sup>/<sub>b<sub>11</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">1&hellip;m</span>
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|m
+
-
|-
+
-
!2: b<sub>1</sub><sup>T</sup>
+
-
|b<sub>i1</sub>&nbsp;=&nbsp;a<sub>i1</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">1&hellip;m</span>
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!rowspan="2"|3: c<sub>2</sub>
+
-
|b<sub>22</sub>&nbsp;=&nbsp;a<sub>22</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;b<sub>21</sub>&nbsp;&times;&nbsp;c<sub>12</sub>
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|-
+
-
|c<sub>2j</sub>&nbsp;=&nbsp;<sup>(a<sub>2j</sub> &minus; b<sub>21</sub>&times;c<sub>1j</sub>)</sup>/<sub>b<sub>22</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">2&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|-
+
-
!4: b<sub>2</sub><sup>T</sup>
+
-
|b<sub>i2</sub>&nbsp;=&nbsp;a<sub>i2</sub> &minus; b<sub>i1</sub>&times;c<sub>12</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">2&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|m &minus; 1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!rowspan="2"|(2k &minus; 1): c<sub>k</sub>
+
-
|b<sub>kk</sub> = a<sub>kk</sub> &minus; &Sigma;<sub>l = 1</sub><sup>k &minus; 1</sup> b<sub>kl</sub>&times;c<sub>lk</sub>
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|0
+
-
|-
+
-
|c<sub>kj</sub> = <sup>(a<sub>kj</sub> &minus; &Sigma;<sub>l = 1</sub><sup>k &minus; 1</sup> b<sub>kl</sub>&times;c<sub>lj</sub>)</sup>/<sub>b<sub>ii</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">k + 1&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|1
+
-
|m &minus; k + 1
+
-
|(k &minus; 1) &times; (m &minus; k + 1)
+
-
|m &minus; k + 1
+
-
|-
+
-
!2k: b<sub>k</sub><sup>T</sup>
+
-
|b<sub>ik</sub> = a<sub>ik</sub> &minus; &Sigma;<sub>l = 1</sub><sup>k + 1</sup> b<sub>il</sub>&times;c<sub>lk</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">k + 1&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|0
+
-
|m &minus; k + 1
+
-
|(k &minus; 1) &times; (m &minus; k + 1)
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!rowspan="2"|Итого
+
-
|&nbsp;
+
-
|&nbsp;
+
-
|&nbsp;
+
-
|&nbsp;
+
-
|&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>1 + 2&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>(m &minus; k + 1) = <sup>(2m + 1)(m &minus; 1)</sup>/<sub>2</sub>
+
-
|&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>(k &minus; 1) + 2&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>((k &minus; 1) &times; (m &minus; k &minus; 1)) = <sup>(2m + 1)m(m &minus; 1)</sup>/<sub>2</sub>
+
-
|&sum;<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>(m &minus; k + 1) = <sup>(m + 1)m</sup>/<sub>2</sub>
+
-
|}
+
-
 
+
-
== Задача 2 ==
+
-
Показать, что &sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>m</sup>(<sup>(m&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(m&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>2</sub>) &nbsp;=&nbsp; <sup>m(m+1)(m+2)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
 
+
-
=== Решение: ===
+
-
 
+
-
Докажем это по индукции.
+
-
 
+
-
Для m&nbsp;=&nbsp;1 утверждение истинно.
+
-
 
+
-
Пусть для m&nbsp;=&nbsp;k:
+
-
 
+
-
&sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>k</sup>(<sup>(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>2</sub>)
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>k(k+1)(k+2)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
 
+
-
Тогда для m&nbsp;=&nbsp;k&nbsp;+&nbsp;1:
+
-
 
+
-
&sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>k&nbsp;+&nbsp;1</sup>(<sup>(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;3)</sup>/<sub>2</sub>)
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;
+
-
&sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>k</sup>(<sup>(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>2</sub>)
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;
+
-
<sup>k(k&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;+&nbsp;3)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 04 лекция (от 20 февраля)|Лекция 4]] =
+
-
== Задача 3 ==
+
-
 
+
-
H — вещественный, D&nbsp;>&nbsp;0. Показать, что (<sup>(D&nbsp;+&nbsp;D*)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;&times;&nbsp;x,&nbsp;x) = (Dx,&nbsp;x), <sup>(D+D*)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;>&nbsp;0.
+
-
 
+
-
=== Решение: ===
+
-
 
+
-
(0.5 (D+D*) x, x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 D* x, x) ={D**=D}= (0.5 Dx, x) + 0.5(x, D x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 Dx, x) = (Dx, x)
+
-
 
+
-
Вещественность пространства нужна для коммутативности скалярного произведения.
+
-
 
+
-
== Задача 3,5 ==
+
-
С>0. Доказать, что существует &sigma;>0:
+
-
(Cx, x) >= &sigma;||x||<sup>2</sup>.
+
-
(Это легко доказать, для самосопряженной матрицы, но здесь это не дано).
+
-
 
+
-
== Задача 4 ==
+
-
Доказать, что если A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0 &rArr; a<sub>ii</sub>&nbsp;&gt;&nbsp;0, i&nbsp;=&nbsp;1&hellip;m
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 07 лекция (от 06 марта)|Лекция 7]] =
+
-
== Задача 5 ==
+
-
Показать, что &lambda;<sub>1</sub> = lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> (x<sub>n</sub><sup>(i)</sup>/x<sub>n + 1</sub><sup>(i)</sup>), i = 1&hellip;m
+
-
 
+
-
== Задача 6 ==
+
-
Показать, что &lambda;<sub>1</sub><sup>(n)</sup> &minus; &lambda;<sub>1</sub> = O(&lambda;<sub>1</sub>/&lambda;<sub>2</sub>).
+
-
 
+
-
== Задача 7 ==
+
-
Когда &lambda;<sub>l</sub> = lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> (&alpha; + x<sub>n</sub><sup>(i)</sup>/x<sub>n + 1</sub><sup>(i)</sup>)
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 09 лекция (от 13 марта)|Лекция 9]] =
+
-
== Задача 8 ==
+
-
Пусть C = B &times; A, B — ВПТФ, A — ВТФ. Доказать, что C — ВПТФ.
+
-
 
+
-
=== Решение ===
+
-
 
+
-
c<sub>ij</sub>&nbsp;=&nbsp;&sum;<sub>k&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>m</sup> b<sub>ik</sub> a <sub>kj</sub>
+
-
&nbsp;=&nbsp;{a<sub>kj</sub>&nbsp;=&nbsp;0, k&nbsp;>&nbsp;j}
+
-
&nbsp;=&nbsp;&sum;<sub>k&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>j</sup> b<sub>ik</sub> a <sub>kj</sub>
+
-
&nbsp;=&nbsp;{b<sub>ik</sub>&nbsp;=&nbsp;0, k<i&minus;1}
+
-
&nbsp;=&nbsp;&sum;<sub>k&nbsp;=&nbsp;i&minus;1</sub><sup>j</sup> b<sub>ik</sub> a <sub>kj</sub>
+
-
 
+
-
при i&nbsp;>&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1 c<sub>ij</sub>&nbsp;=&nbsp;0. Следовательно С - ВПТФ.
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 11 лекция (от 20 марта)|Лекция 11]] =
+
-
== Задача 9 ==
+
-
Показать, что Интеграл от 0 до 1 t(t &minus; 1/2)<sup>2</sup>(1 &minus; t)dt = 1/120
+

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!


Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)
Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%D1%85
Личные инструменты
Разделы