Редактирование: Численные Методы, задачи на лекциях

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

= [[Численные Методы, 02 лекция (от 13 февраля)|Лекция 2]] =
== Задача 1 ==
Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: (m3&nbsp;&minus;&nbsp;m)/3.

=== !!! Решение ===
{|style="text-align:center"
 !rowspan="2"|Шаг
 !rowspan="2"|Действие
 !colspan="3"|Количество действий на один элемент
 !colspan="3"|Итоговое количество действий
 |-
 !Вычитание
 !Умножение
 !Деление
 !Вычитание
 !Умножение
 !Деление
 |-
 !1: c1
 |b11 = a11
 |0
 |0
 |0
 |0
 |0
 |0
 |-
 !&nbsp;
 |c1j = a1j/b11, j = 1&hellip;m
 |0
 |0
 |1
 |0
 |0
 |m
 |-
 !2: b1T
 |bi1&nbsp;=&nbsp;ai1, i = 1&hellip;m
 |0
 |0
 |0
 |0
 |0
 |0
 |-
 !rowspan="2"|3: c2
 |b22&nbsp;=&nbsp;a22&nbsp;&minus;&nbsp;b21&nbsp;&times;&nbsp;c12 
 |1
 |1
 |0
 |1
 |1
 |0
 |-
 |c2j&nbsp;=&nbsp;(a2j &minus; b21&times;c1j)/b22, j = 2&hellip;m
 |1
 |1
 |1
 |m &minus; 1
 |m &minus; 1
 |m &minus; 1
 |-
 !4: b2T
 |bi2&nbsp;=&nbsp;ai2 &minus; bi1&times;c12, i = 2&hellip;m
 |1
 |1
 |0
 |m &minus; 1
 |m &minus; 1
 |0
 |- 
 !rowspan="2"|(2k &minus; 1): ck
 |bkk = akk &minus; &Sigma;l = 1k &minus; 1 bkl&times;clk
 |1
 |k &minus; 1
 |0
 |1
 |k &minus; 1
 |0
 |- 
 |ckj = (akj &minus; &Sigma;l = 1k &minus; 1 bkl&times;clj)/bii, j = k + 1&hellip;m
 |1
 |k &minus; 1
 |1
 |m &minus; k + 1
 |(k &minus; 1) &times; (m &minus; k + 1)
 |m &minus; k + 1
 |-
 !2k: bkT
 |bik = aik &minus; &Sigma;l = 1k + 1 bil&times;clk, i = k + 1&hellip;m
 |1
 |k &minus; 1
 |0
 |m &minus; k + 1
 |(k &minus; 1) &times; (m &minus; k + 1)
 |0
 |-
 !rowspan="2"|Итого
 |&nbsp;
 |&nbsp;
 |&nbsp;
 |&nbsp;
 |&sum;k = 2m1 + 2&sum;k = 2m(m &minus; k + 1) = (2m + 1)(m &minus; 1)/2
 |&sum;k = 2m(k &minus; 1) + 2&sum;k = 2m((k &minus; 1) &times; (m &minus; k &minus; 1)) = (2m + 1)m(m &minus; 1)/2
 |&sum;k = 1m(m &minus; k + 1) = (m + 1)m/2
 |}

== Задача 2 ==
Показать, что &sum;j&nbsp;=&nbsp;1m((m&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(m&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)/2) &nbsp;=&nbsp; m(m+1)(m+2)/6

=== Решение: ===

Докажем это по индукции.

Для m&nbsp;=&nbsp;1 утверждение истинно.

Пусть для m&nbsp;=&nbsp;k:

&sum;j&nbsp;=&nbsp;1k((k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)/2)
&nbsp;=&nbsp;k(k+1)(k+2)/6

Тогда для m&nbsp;=&nbsp;k&nbsp;+&nbsp;1:

&sum;j&nbsp;=&nbsp;1k&nbsp;+&nbsp;1((k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;3)/2)
&nbsp;=&nbsp;(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)/2&nbsp;+&nbsp;
&sum;j&nbsp;=&nbsp;1k((k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)/2)
&nbsp;=&nbsp;(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)/2&nbsp;+&nbsp;
k(k&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;+&nbsp;2)/6 
&nbsp;=&nbsp;(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;+&nbsp;3)/6

= [[Численные Методы, 04 лекция (от 20 февраля)|Лекция 4]] =
== Задача 3 ==

H — вещественный, D&nbsp;>&nbsp;0. Показать, что ((D&nbsp;+&nbsp;D*)/2&nbsp;&times;&nbsp;x,&nbsp;x) = (Dx,&nbsp;x), (D+D*)/2&nbsp;>&nbsp;0.

=== Решение: ===

(0.5 (D+D*) x, x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 D* x, x) ={D**=D}= (0.5 Dx, x) + 0.5(x, D x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 Dx, x) = (Dx, x)

Вещественность пространства нужна для коммутативности скалярного произведения.

== Задача 3,5 ==
С>0. Доказать, что существует &sigma;>0:
(Cx, x) >= &sigma;||x||2.
(Это легко доказать, для самосопряженной матрицы, но здесь это не дано).

== Задача 4 ==
Доказать, что если A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0 &rArr; aii&nbsp;&gt;&nbsp;0, i&nbsp;=&nbsp;1&hellip;m

= [[Численные Методы, 07 лекция (от 06 марта)|Лекция 7]] =
== Задача 5 ==
Показать, что &lambda;1 = limn &rarr; &infin; (xn(i)/xn + 1(i)), i = 1&hellip;m

== Задача 6 ==
Показать, что &lambda;1(n) &minus; &lambda;1 = O(&lambda;1/&lambda;2).

== Задача 7 ==
Когда &lambda;l = limn &rarr; &infin; (&alpha; + xn(i)/xn + 1(i))

= [[Численные Методы, 09 лекция (от 13 марта)|Лекция 9]] =
== Задача 8 ==
Пусть C = B &times; A, B — ВПТФ, A — ВТФ. Доказать, что C — ВПТФ.

=== Решение ===

cij&nbsp;=&nbsp;&sum;k&nbsp;=&nbsp;1m bik a kj 
&nbsp;=&nbsp;{akj&nbsp;=&nbsp;0, k&nbsp;>&nbsp;j}
&nbsp;=&nbsp;&sum;k&nbsp;=&nbsp;1j bik a kj 
&nbsp;=&nbsp;{bik&nbsp;=&nbsp;0, k<i&minus;1}
&nbsp;=&nbsp;&sum;k&nbsp;=&nbsp;i&minus;1j bik a kj

при i&nbsp;>&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1 cij&nbsp;=&nbsp;0. Следовательно С - ВПТФ.

= [[Численные Методы, 11 лекция (от 20 марта)|Лекция 11]] =
== Задача 9 ==
Показать, что Интеграл от 0 до 1 t(t &minus; 1/2)2(1 &minus; t)dt = 1/120

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%D1%85

Редактирование: Численные Методы, задачи на лекциях

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 = [[Численные Методы, 02 лекция (от 13 февраля)|Лекция 2]] =
 == Задача 1 ==
-Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: <math>\frac{m^3 - m}{3}</math>.
+Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: <sup>(m<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;m)</sup>/<sub>3</sub>.
 === !!! Решение ===