Численные Методы, задачи на лекциях

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (1 версий)
(Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...»)
Строка 1: Строка 1:
-
= [[Численные Методы, 02 лекция (от 13 февраля)|Лекция 2]] =
+
== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-
== Задача 1 ==
+
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-
Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: <sup>(m<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;m)</sup>/<sub>3</sub>.
+
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-
 
+
Dig yourself a grave - you will need it.
-
=== !!! Решение ===
+
-
{|style="text-align:center"
+
-
!rowspan="2"|Шаг
+
-
!rowspan="2"|Действие
+
-
!colspan="3"|Количество действий на один элемент
+
-
!colspan="3"|Итоговое количество действий
+
-
|-
+
-
!Вычитание
+
-
!Умножение
+
-
!Деление
+
-
!Вычитание
+
-
!Умножение
+
-
!Деление
+
-
|-
+
-
!1: c<sub>1</sub>
+
-
|b<sub>11</sub> = a<sub>11</sub>
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!&nbsp;
+
-
|c<sub>1j</sub> = <sup>a<sub>1j</sub></sup>/<sub>b<sub>11</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">1&hellip;m</span>
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|m
+
-
|-
+
-
!2: b<sub>1</sub><sup>T</sup>
+
-
|b<sub>i1</sub>&nbsp;=&nbsp;a<sub>i1</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">1&hellip;m</span>
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!rowspan="2"|3: c<sub>2</sub>
+
-
|b<sub>22</sub>&nbsp;=&nbsp;a<sub>22</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;b<sub>21</sub>&nbsp;&times;&nbsp;c<sub>12</sub>
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|-
+
-
|c<sub>2j</sub>&nbsp;=&nbsp;<sup>(a<sub>2j</sub> &minus; b<sub>21</sub>&times;c<sub>1j</sub>)</sup>/<sub>b<sub>22</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">2&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|-
+
-
!4: b<sub>2</sub><sup>T</sup>
+
-
|b<sub>i2</sub>&nbsp;=&nbsp;a<sub>i2</sub> &minus; b<sub>i1</sub>&times;c<sub>12</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">2&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|m &minus; 1
+
-
|m &minus; 1
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!rowspan="2"|(2k &minus; 1): c<sub>k</sub>
+
-
|b<sub>kk</sub> = a<sub>kk</sub> &minus; &Sigma;<sub>l = 1</sub><sup>k &minus; 1</sup> b<sub>kl</sub>&times;c<sub>lk</sub>
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|0
+
-
|-
+
-
|c<sub>kj</sub> = <sup>(a<sub>kj</sub> &minus; &Sigma;<sub>l = 1</sub><sup>k &minus; 1</sup> b<sub>kl</sub>&times;c<sub>lj</sub>)</sup>/<sub>b<sub>ii</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">k + 1&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|1
+
-
|m &minus; k + 1
+
-
|(k &minus; 1) &times; (m &minus; k + 1)
+
-
|m &minus; k + 1
+
-
|-
+
-
!2k: b<sub>k</sub><sup>T</sup>
+
-
|b<sub>ik</sub> = a<sub>ik</sub> &minus; &Sigma;<sub>l = 1</sub><sup>k + 1</sup> b<sub>il</sub>&times;c<sub>lk</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">k + 1&hellip;m</span>
+
-
|1
+
-
|k &minus; 1
+
-
|0
+
-
|m &minus; k + 1
+
-
|(k &minus; 1) &times; (m &minus; k + 1)
+
-
|0
+
-
|-
+
-
!rowspan="2"|Итого
+
-
|&nbsp;
+
-
|&nbsp;
+
-
|&nbsp;
+
-
|&nbsp;
+
-
|&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>1 + 2&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>(m &minus; k + 1) = <sup>(2m + 1)(m &minus; 1)</sup>/<sub>2</sub>
+
-
|&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>(k &minus; 1) + 2&sum;<sub>k = 2</sub><sup>m</sup>((k &minus; 1) &times; (m &minus; k &minus; 1)) = <sup>(2m + 1)m(m &minus; 1)</sup>/<sub>2</sub>
+
-
|&sum;<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>(m &minus; k + 1) = <sup>(m + 1)m</sup>/<sub>2</sub>
+
-
|}
+
-
 
+
-
== Задача 2 ==
+
-
Показать, что &sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>m</sup>(<sup>(m&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(m&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>2</sub>) &nbsp;=&nbsp; <sup>m(m+1)(m+2)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
 
+
-
=== Решение: ===
+
-
 
+
-
Докажем это по индукции.
+
-
 
+
-
Для m&nbsp;=&nbsp;1 утверждение истинно.
+
-
 
+
-
Пусть для m&nbsp;=&nbsp;k:
+
-
 
+
-
&sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>k</sup>(<sup>(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>2</sub>)
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>k(k+1)(k+2)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
 
+
-
Тогда для m&nbsp;=&nbsp;k&nbsp;+&nbsp;1:
+
-
 
+
-
&sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>k&nbsp;+&nbsp;1</sup>(<sup>(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;3)</sup>/<sub>2</sub>)
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;
+
-
&sum;<sub>j&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>k</sup>(<sup>(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;&minus;&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>2</sub>)
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;
+
-
<sup>k(k&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;+&nbsp;2)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
&nbsp;=&nbsp;<sup>(k&nbsp;+&nbsp;2)(k&nbsp;+&nbsp;1)(k&nbsp;+&nbsp;3)</sup>/<sub>6</sub>
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 04 лекция (от 20 февраля)|Лекция 4]] =
+
-
== Задача 3 ==
+
-
 
+
-
H — вещественный, D&nbsp;>&nbsp;0. Показать, что (<sup>(D&nbsp;+&nbsp;D*)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;&times;&nbsp;x,&nbsp;x) = (Dx,&nbsp;x), <sup>(D+D*)</sup>/<sub>2</sub>&nbsp;>&nbsp;0.
+
-
 
+
-
=== Решение: ===
+
-
 
+
-
(0.5 (D+D*) x, x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 D* x, x) ={D**=D}= (0.5 Dx, x) + 0.5(x, D x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 Dx, x) = (Dx, x)
+
-
 
+
-
Вещественность пространства нужна для коммутативности скалярного произведения.
+
-
 
+
-
== Задача 3,5 ==
+
-
С>0. Доказать, что существует &sigma;>0:
+
-
(Cx, x) >= &sigma;||x||<sup>2</sup>.
+
-
(Это легко доказать, для самосопряженной матрицы, но здесь это не дано).
+
-
 
+
-
== Задача 4 ==
+
-
Доказать, что если A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0 &rArr; a<sub>ii</sub>&nbsp;&gt;&nbsp;0, i&nbsp;=&nbsp;1&hellip;m
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 07 лекция (от 06 марта)|Лекция 7]] =
+
-
== Задача 5 ==
+
-
Показать, что &lambda;<sub>1</sub> = lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> (x<sub>n</sub><sup>(i)</sup>/x<sub>n + 1</sub><sup>(i)</sup>), i = 1&hellip;m
+
-
 
+
-
== Задача 6 ==
+
-
Показать, что &lambda;<sub>1</sub><sup>(n)</sup> &minus; &lambda;<sub>1</sub> = O(&lambda;<sub>1</sub>/&lambda;<sub>2</sub>).
+
-
 
+
-
== Задача 7 ==
+
-
Когда &lambda;<sub>l</sub> = lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> (&alpha; + x<sub>n</sub><sup>(i)</sup>/x<sub>n + 1</sub><sup>(i)</sup>)
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 09 лекция (от 13 марта)|Лекция 9]] =
+
-
== Задача 8 ==
+
-
Пусть C = B &times; A, B — ВПТФ, A — ВТФ. Доказать, что C — ВПТФ.
+
-
 
+
-
=== Решение ===
+
-
 
+
-
c<sub>ij</sub>&nbsp;=&nbsp;&sum;<sub>k&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>m</sup> b<sub>ik</sub> a <sub>kj</sub>
+
-
&nbsp;=&nbsp;{a<sub>kj</sub>&nbsp;=&nbsp;0, k&nbsp;>&nbsp;j}
+
-
&nbsp;=&nbsp;&sum;<sub>k&nbsp;=&nbsp;1</sub><sup>j</sup> b<sub>ik</sub> a <sub>kj</sub>
+
-
&nbsp;=&nbsp;{b<sub>ik</sub>&nbsp;=&nbsp;0, k<i&minus;1}
+
-
&nbsp;=&nbsp;&sum;<sub>k&nbsp;=&nbsp;i&minus;1</sub><sup>j</sup> b<sub>ik</sub> a <sub>kj</sub>
+
-
 
+
-
при i&nbsp;>&nbsp;j&nbsp;+&nbsp;1 c<sub>ij</sub>&nbsp;=&nbsp;0. Следовательно С - ВПТФ.
+
-
 
+
-
= [[Численные Методы, 11 лекция (от 20 марта)|Лекция 11]] =
+
-
== Задача 9 ==
+
-
Показать, что Интеграл от 0 до 1 t(t &minus; 1/2)<sup>2</sup>(1 &minus; t)dt = 1/120
+

Версия 15:05, 2 февраля 2008

From Ebaums Inc to MurkLoar.

We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. Dig yourself a grave - you will need it.

Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%D1%85
Личные инструменты
Разделы