| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | = Глава 1. Численные методы линейной алгебры = | + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | Большой класс методов, до сих пор расширяется. Вычислительная математика, казалось бы, должна сократиться в количестве задач. Но решение одних задач порождает новые.
| + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | | + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | == Параграф 1. Введение ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Система линейных алгебраических уравнений
| + | |
| - | | + | |
| - | * Ax = f (1)
| + | |
| - | * A (m × m), det A ≠ 0 — решение есть, оно единственное
| + | |
| - | * x = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ... x<sub>m</sub>)<sup>T</sup>
| + | |
| - | * f = (f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, ... f<sub>m</sub>)<sup>T</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Есть три алгоритма решения данных систем — метод Крамера, метод Гаусса и метод квадратного корня. Порядок систем, которые решают современная математика, очень высокий (миллионы, десятки миллионов уравнений). В результате должны строить такие алгоритмы, которые оптимальны с точки зрения вычислительных затрат. При этом важно учитывать специфику задачи.
| + | |
| - | | + | |
| - | Две группы методов:
| + | |
| - | # Прямые (точные) методы
| + | |
| - | # Итерационные (приближённые) методы
| + | |
| - | | + | |
| - | Прямые методы — методы, которые позволяют реализовать в алгоритме определённые формулы, то есть аналитическое решение. Точными их назвать трудно, потому что в компьютере идёт округление. Позволяют решить задачу за конечное число действий, используя прямые формулы. Сюда относятся: метод Крамера (~m!), метод Гаусса (~<sup>m<sup>3</sup></sup>/<sub>3</sub> — самый эффективный из прямых для произвольных матриц), метод квадратного корня.
| + | |
| - | | + | |
| - | Зачем тогда итерационные методы? Задаётся начальное приближение Х<sub>0</sub>, далее выстраивается итерационный процесс, получая последовательно X<sub>n</sub> — n-я итерация, причём предел совпадает с точным решением. Находим приближения, пока не ||X<sub>n</sub> – X || < ε , тогда n<sub>0</sub>(ε) — число итераций. Оказывается, что они намного эффективнее прямых методов.
| + | |
| - | | + | |
| - | Прямые сравнивают по количеству действий. Под действием понимаем умножение + деление. Итерационные — по числу итераций и сложности итерации.
| + | |
| - | | + | |
| - | Если в некоторых приближениях выбор начальных приближения любой, то в других есть такие начальные приближения, при которых метод не будет сходиться.
| + | |
| - | | + | |
| - | Норма. Обычно это евклидова норма. Методы, которые будем рассматривать, в одной норме будут сходиться, а в другой нет. Не смотря на то, что нормы эквивалентны, при определённых параметрах константы эквивалентности устремляются к бесконечности.
| + | |
| - | | + | |
| - | Другие задачи, связанные с СЛАУ:
| + | |
| - | # Задача на собственные значения. Это задача о нахождении такого числа λ, что Ax = λ × x, x ≠ 0 — собственный вектор, λ — собственное значение. Две группы методов: степенные (решает частичную проблему собственных значений — нахождение отдельных собственных значений), QR-алгоритм (решение полной проблемы собственных значений). Это самый сильный алгоритм, он для произвольной матрицы.
| + | |
| - | # Нахождение обратной матрицы. За n<sup>3</sup> действий можно обратить матрицу.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 2. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть есть система (1):
| + | |
| - | | + | |
| - | Метод Гаусса:
| + | |
| - | | + | |
| - | Cводим A к верхнетреугольной с единицами на диагонали = С. это требует <sup>(m<sup>3</sup>−m)</sup>/<sub>3</sub> действий. То есть самый большой объём работ затрачивается на сведение матрицы. Теперь Cx = f<sub>1</sub>. Для перехода к f<sub>1</sub> требуется <sup>m(m+1)</sup>/<sub>2</sub> действий. Обратный ход требует <sup>m(m − 1)</sup>/<sub>2</sub> действий. Поэтому мы начнём матрицу А факторизовать, чтобы был выигрыш. Поставим задачу: а можно ли матрицу А в виде произведения B × C?
| + | |
| - | * А = B × C (2)
| + | |
| - | Не любую матрицу можно так преобразовать.
| + | |
| - | | + | |
| - | <div class="comment">Специалист по Си с тремя плюсами</div>
| + | |
| - | | + | |
| - | B — нижнетреугольная матрица:
| + | |
| - | {|style="text-align:center"
| + | |
| - | |b<sub>11</sub>
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |b<sub>21</sub>
| + | |
| - | |b<sub>22</sub>
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan="5"|...
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |b<sub>1m</sub>
| + | |
| - | |b<sub>2m</sub>
| + | |
| - | |b<sub>3m</sub>
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |b<sub>mm</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | | + | |
| - | C:
| + | |
| - | {|style="text-align:center"
| + | |
| - | |1
| + | |
| - | |c<sub>12</sub>
| + | |
| - | |c<sub>13</sub>
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |c<sub>1m</sub>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |1
| + | |
| - | |c<sub>23</sub>
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |c<sub>2m</sub>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan="5"|...
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |1
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | | + | |
| - | Пока будем предполагать, что то, на что делим, не ноль, а потом будем подбирать достаточные условия для этого.
| + | |
| - | | + | |
| - | a<sub>ij</sub> = Σ<sub>l = 1</sub><sup>m</sup>b<sub>il</sub>c<sub>lj</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | a<sub>ij</sub> = Σ<sub>l = 1</sub><sup>i−1</sup>b<sub>il</sub>c<sub>lj</sub> + b<sub>ii</sub>c<sub>ij</sub> + Σ<sub>l = i + 1</sub><sup>m</sup>b<sub>il</sub>c<sub>lj</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | b<sub>il</sub> = 0 если l > i, значит, третьего слагаемого нет.
| + | |
| - | | + | |
| - | b<sub>ii</sub>×c<sub>lj</sub> = a<sub>ij</sub> − Σ<sub>l=1</sub><sup>i−1</sup> b<sub>il</sub>×c<sub>lj</sub>, b<sub>ii</sub> ≠ 0, тогда можем поделить:
| + | |
| - | | + | |
| - | c<sub>ij</sub> = <sup>(a<sub>ij</sub> − Σ<sub>l=1</sub><sup>i−1</sup> b<sub>il</sub>×c<sub>lj</sub>)</sup>/<sub>b<sub>ii</sub></sub>, i < j ... (3)
| + | |
| - | | + | |
| - | a<sub>ij</sub> = Σ<sub>l=1</sub><sup>j−1</sup> b<sub>il</sub>×c<sub>lj</sub> + b<sub>ij</sub>×c<sub>jj</sub> + Σ<sub>l=j+1</sub><sup>m</sup> b<sub>il</sub>×c<sub>lj</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | b<sub>ij</sub>×c<sub>jj</sub> = b<sub>ij</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | c<sub>lj</sub> = 0, l > j
| + | |
| - | | + | |
| - | b<sub>ij</sub> = a<sub>ij</sub> − Σ<sub>l=1</sub><sup>j−1</sup> b<sub>il</sub>×c<sub>lj</sub>, i ≥ j ... (4)
| + | |
| - | | + | |
| - | Эта система нелинейная, но если специальным образом организовать алгоритм, то мы всё вычислим.
| + | |
| - | | + | |
| - | Завтра в П-5
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Lection-stub}}
| + | |
