Редактирование: Численные Методы, 11 лекция (от 20 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
-
[[Численные Методы, 10 лекция (от 19 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 11 лекция (от 26 марта)|Следующая лекция]]
+
== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-
 
+
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-
= Глава 2. Интерполирование и приближение функций =
+
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-
== Параграф 6. Использование H<sub>3</sub>(x) для оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона ==
+
Dig yourself a grave - you will need it.
-
 
+
-
Пусть требуется найти ∫<sub>a</sub><sup></sup>b f(x)dx, f(x<sub>i</sub>) = f<sub>i</sub>, f(x<sub>i</sub>+0,5h) = f<sub>i + 1/2</sub>
+
-
 
+
-
По формуле Симпсона:
+
-
* ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx &asymp; h/6 &times; (f<sub>i &minus; 1</sub> + 4f<sub>i &minus; 1/2</sub> + f<sub>i</sub>) (1)
+
-
 
+
-
Докажем, что для полинома третьей степени f(x) = a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub>x + a<sub>2</sub>x<sup>2</sup> + a<sub>3</sub>x<sup>3</sup>:
+
-
* Посчитаем ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> x<sup>3</sup>dx = x<sup>4</sup>/4 |<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> = (x<sub>i</sub><sup>4</sup> &minus; x<sub>i &minus; 1</sub><sup>4</sup>)/4 = (x<sub>i</sub><sup>2</sup> &minus; x<sub>i &minus; 1</sub><sup>2</sup>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> &minus; x<sub>i + 1</sub><sup>2</sup>)/4 = h/4 &times; (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> + x<sub>i &minus; 1</sub><sup>2</sup>)
+
-
* h/6 &times; (x<sub>i &minus; 1</sub><sup>3</sup> + 4x<sub>i &minus; 1/2</sub><sup>3</sup> + x<sub>i</sub><sup>3</sup>) = h/6 &times; (x<sub>i</sub><sup>3</sup> + x<sub>i &minus; 1</sub><sup>3</sup> + 4 &times; ((x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)/2)<sup>3</sup>) = h/6 &times; ((x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> &minus; x<sub>i &minus; 1</sub>x<sub>i</sub> + x<sub>i &minus; 1</sub><sup>2</sup> + (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)<sup>2</sup> &times; (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)/2)) = h/6 &times; ((x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>) &times; 3/2 &times; (x<sub>i</sub><sup>2</sup> + x<sub>i &minus; 1</sub><sup>2</sup>) = h/4 &times; (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> + x<sub>i &minus; 1</sub><sup>2</sup>)
+
-
 
+
-
Теперь получим оценку погрешности.
+
-
* x<sub>i &minus; 1</sub>, x<sub>i &minus; 1/2</sub>, x<sub>i</sub>
+
-
* H<sub>3</sub>(x<sub>i &minus; 1</sub>) = f<sub>i &minus; 1</sub>
+
-
* H<sub>3</sub>(x<sub>i &minus; 1/2</sub>) = f<sub>i &minus; 1/2</sub>
+
-
* H<sub>3</sub>(x<sub>i</sub>) = f<sub>i</sub>
+
-
* H<sub>3</sub>'(x<sub>i &minus; 1/2</sub>) = f'<sub>i &minus; 1/2</sub>
+
-
* &exist;! ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx &asymp; h/6 &times; (f<sub>i &minus; 1</sub> + 4x<sub>i &minus; 1/2</sub> + x<sub>i</sub>)
+
-
* f(x) = H<sub>3</sub>(x) + &psi;<sub>H<sub>3</sub></sub>(x)
+
-
* ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx = ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> H<sub>3</sub>(x)dx + ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> &psi;<sub>H<sub>3</sub></sub>(x)dx
+
-
* &Psi;<sub>i</sub>(f) = ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx &minus; ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> H<sub>3</sub>(x)dx = ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> &psi;<sub>H<sub>3</sub></sub>(x)dx
+
-
* h/6 &times; (H<sub>i &minus; 1</sub> + 4H<sub>i &minus; 1/2</sub> + H<sub>i</sub>) = h/6 &times; (f<sub>i &minus; 1</sub> + 4f<sub>i &minus; 1/2</sub> + f<sub>i</sub>)
+
-
* &psi;<sub>H<sub>3</sub></sub>(x) = f<sup>(4)</sup>(&xi;)/4! (x &minus; x<sub>i &minus; 1</sub>)(x &minus; x<sub>i &minus; 1/2</sub>)<sup>2</sup>(x &minus; x<sub>i</sub>)
+
-
* M<sub>4</sub> = sup<sub>a &le; x &le; b</sub> |f<sup>(4)</sup>(x)|
+
-
* |&Psi;<sub>i</sub>(f)| &le; M<sub>4</sub>/4! ∫<sub>x<sub>i &minus; 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> (x &minus; x<sub>i &minus; 1</sub>)(x &minus; x<sub>i &minus; 1/2</sub>)<sup>2</sup>(x &minus; x<sub>i</sub>)dx = M<sub>4</sub>/4! h<sup>5</sup> t(t &minus; 1/2)<sup>2</sup>(1 &minus; t)dt
+
-
** x = x<sub>i &minus; 1</sub> + th, 0 &le; t &le; 1
+
-
** dx = hdt
+
-
** (x &minus; x<sub>i &minus; 1/2</sub>)<sup>2</sup> = h<sup>2</sup>(t &minus; 1/2)<sup>2</sup>
+
-
 
+
-
'''Задача'''. Показать, что ∫<sub>0</sub><sup>1</sup> t(t &minus; 1/2)<sup>2</sup>(1 &minus; t)dt = 1/20
+
-
 
+
-
* |&Psi;<sub>i</sub>(f)| &le; M<sub>4</sub>h<sup>5</sup>/4! &times; 1/120 = O(h<sup>5</sup>)
+
-
* &Psi;<sub>h</sub>(f) = &Sum;<sub>i = 1</sub><sup>N</sup>&Psi;<sub>i</sub>(f)
+
-
** Nh = b &minus; a
+
-
* &Psi;<sub>h</sub>(f) &le; (h/2)<sup>4</sup> (M<sub>4</sub>(b &minus; a))/180 = O(h<sup>4</sup>)
+
-
 
+
-
== Параграф 7. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции ==
+
-
 
+
-
Когда мы начинали эту главу, то говорили, что приближать можно бесконечным числом способов, ставя разными задачами. Приближение алгебраическим полиномом классическое. Часто надо будет приближать в совсем другом смысле.
+
-
 
+
-
Нам следует здесь хорошо понять, в чём заключается задача, и откуда следует единственность.
+
-
 
+
-
В чём заключается задача: пусть задан отрезок [a, b]. Рассматривается множество функций таких, что ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f<sup>2</sup>(x)dx &lt; &infin;, f &isin; L<sub>2</sub>. В этом функциональном пространстве вводим векторное произведение: &forall; f, g &isin; L<sub>2</sub>: (f, g) = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)g(x)dx. Норма: ||f|| = (f, f)<sup>1/2</sup> = (&int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f<sup>2</sup>(x)dx)<sup>1/2</sup>. Эта норма не согласована с нормой в дискретном L<sub>2</sub>.
+
-
 
+
-
Рассмотрим &phi;<sub>0</sub>(x), &phi;<sub>1</sub>(x), ..., &phi;<sub>n</sub>(x) &isin; L<sub>2</sub>, {&phi;<sub>k</sub>(x)}<sub>0</sub><sup>n</sup> — линейно независимые (1)
+
-
* &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> &phi;<sub>i</sub><sup>2</sup>(x)dx &lt; &infin;
+
-
* &phi;(x) = &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub>&phi;<sub>k</sub>(x) (2) — обобщённый многочлен
+
-
* Требуется найти такой обобщённый многочлен <span style="border-top:solid 1px">&phi;</span>(x) = &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>k</sub>&phi;<sub>k</sub>(x), что
+
-
** ||f &minus; <span style="border-top:solid 1px">&phi;</span>(x)|| = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) &minus; <span style="border-top:solid 1px">&phi;</span>(x))<sup>2</sup>dx = min<sub>&phi;(x)</sub>||f &minus; &phi;(x)||<sub>L<sub>2</sub></sub><sup>2</sup>
+
-
 
+
-
Рассмотрим частный случай:
+
-
* n = 0, &phi;<sub>0</sub>(x), f(x), &phi;(x) = c<sub>0</sub>&phi;<sub>0</sub>(x), &phi;(x) = <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>0</sub>&phi;<sub>0</sub>(x) — наилучшее среднее
+
-
* F(c<sub>0</sub>) = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) &minus; c<sub>0</sub>&phi;<sub>0</sub>(x))<sup>2</sup>dx = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)<sup>2</sup>dx { = f f} &minus; 2c<sub>0</sub> &times; &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)&phi;<sub>0</sub>(x)dx { = f &phi;<sub>0</sub>} + c<sub>0</sub><sup>2</sup> &times; &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> &phi;<sub>0</sub><sup>2</sup>(x)dx{ = &phi;<sub>0</sub> &phi;<sub>0</sub>}
+
-
* F'(c<sub>0</sub>) = 0
+
-
* ...
+
-
 
+
-
Пусть есть &phi;<sub>0</sub>(x), &phi;<sub>1</sub>(x), ..., &phi;<sub>n</sub>(x)
+
-
* &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> &phi;<sub>k</sub><sup>2</sup>(x)dx &lt; &infin;, k = 0&hellip;n
+
-
* &phi;(x) = &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub>&phi;<sub>k</sub>(x)
+
-
* F(c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, &hellip;, c<sub>n</sub>) = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) &minus; &phi;(x))<sup>2</sup>dx = ||f &minus; &phi;||<sub>L<sub>2</sub></sub><sup>2</sup> = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f<sup>2</sup>(x)dx &minus; 2&sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> (&int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)&phi;<sub>k</sub>(x)dx) + &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> &sum;<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub>(&int;<sub>a</sub><sup>b</sup> &phi;<sub>k</sub>(x)&phi;<sub>l</sub>(x)dx) = (f, f) &minus; 2&sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> (f, &phi;<sub>k</sub>(x)) + &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> &sum;<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub>(&phi;<sub>k</sub>, &phi;<sub>l</sub>)
+
-
* &delta;F(c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, &hellip;, c<sub>n</sub>)/&delta;c<sub>k</sub> = 0, k = 0&hellip;n
+
-
* &sum;<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub>(&phi;<sub>k</sub>, &phi;<sub>l</sub>) = (f, &phi;<sub>k</sub>), k = 0&hellip; n
+
-
Выпишем эту систему (3) подробно:
+
-
* c<sub>0</sub>(&phi;<sub>0</sub>, &phi;<sub>0</sub>) + c<sub>1</sub>(&phi;<sub>0</sub>, &phi;<sub>1</sub>) + &hellip; c<sub>n</sub>(&phi;<sub>0</sub>, &phi;<sub>n</sub>) = (f, &phi;<sub>0</sub>)
+
-
* c<sub>0</sub>(&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>0</sub>) + c<sub>1</sub>(&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>1</sub>) + &hellip; c<sub>n</sub>(&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>n</sub>) = (f, &phi;<sub>1</sub>)
+
-
* ...
+
-
* c<sub>0</sub>(&phi;<sub>n</sub>, &phi;<sub>0</sub>) + c<sub>1</sub>(&phi;<sub>n</sub>, &phi;<sub>1</sub>) + &hellip; c<sub>n</sub>(&phi;<sub>n</sub>, &phi;<sub>n</sub>) = (f, &phi;<sub>n</sub>)
+
-
Выпишем матрицу этой системы:
+
-
{|
+
-
| (&phi;<sub>0</sub>, &phi;<sub>0</sub>)
+
-
| (&phi;<sub>0</sub>, &phi;<sub>1</sub>)
+
-
| ...
+
-
| (&phi;<sub>0</sub>, &phi;<sub>n</sub>)
+
-
|rowspan="4"| = G(&phi;<sub>0</sub>, &phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>n</sub>)
+
-
|-
+
-
| (&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>0</sub>)
+
-
| (&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>1</sub>)
+
-
| ...
+
-
| (&phi;<sub>1</sub>, &phi;<sub>n</sub>)
+
-
|-
+
-
| ...
+
-
|-
+
-
| (&phi;<sub>n</sub>, &phi;<sub>0</sub>)
+
-
| (&phi;<sub>n</sub>, &phi;<sub>1</sub>)
+
-
| ...
+
-
| (&phi;<sub>n</sub>, &phi;<sub>n</sub>)
+
-
|}
+
-
Это матрица Грамма. Определитель матрицы положительный, отличен от 0, тем самым система алгебраических уравнений имеет и при том единственное решение для любой правой части.
+
-
 
+
-
Решение даёт <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>0</sub>, <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>1</sub>, &hellip;, <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>n</sub>, и мы получаем наилучшее приближение.
+
-
 
+
-
Тем не менее, существует ряд проблем:
+
-
* Теоретически, если мы будем добавлять точки, то это должно давать лучшее приближение. В чём проблема: если будет большой порядок, то будем решать численно. Если определитель отличен от 0, но маленький, и это даёт большие погрешности.
+
-
 
+
-
<!-- задремал -->
+
-
 
+
-
=== Отклонение ===
+
-
&int;<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) &minus; &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub>&phi;<sub>k</sub>(x))<sup>2</sup>dx = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)<sup>2</sup>dx &minus; 2&sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)&phi;<sub>0</sub>(x)dx + &sum;<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub> &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> &phi;<sub>0</sub><sup>2</sup>(x)dx = &int;<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)<sup>2</sup>dx &minus; &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> &ge; 0
+
-
* &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> &le; ||f||<sup>2</sup> — неравенство Бесселя
+
-
* &sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> = ||f||<sup>2</sup> — равенство Парсеваля
+
-
 
+
-
Приходится задействовать много разных областей и решать много проблем, поэтому требуется понимание, что с чем связано.
+
-
 
+
-
В качестве обобщения: абсолютно так же для сеточных функций.
+
-
 
+
-
Таким образом завершим главу.
+
-
 
+
-
{{Численные Методы}}
+
-
{{Lection-stub}}
+

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!


Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.us/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_11_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_20_%D0%BC%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%29
Личные инструменты
Разделы