м |
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 10 лекция (от 19 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 11 лекция (от 26 марта)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 2. Интерполирование и приближение функций = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 6. Использование H<sub>3</sub>(x) для оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | | + | |
| - | Пусть требуется найти ∫<sub>a</sub><sup></sup>b f(x)dx, f(x<sub>i</sub>) = f<sub>i</sub>, f(x<sub>i</sub>+0,5h) = f<sub>i + 1/2</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | По формуле Симпсона:
| + | |
| - | * ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx ≈ h/6 × (f<sub>i − 1</sub> + 4f<sub>i − 1/2</sub> + f<sub>i</sub>) (1)
| + | |
| - | | + | |
| - | Докажем, что для полинома третьей степени f(x) = a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub>x + a<sub>2</sub>x<sup>2</sup> + a<sub>3</sub>x<sup>3</sup>:
| + | |
| - | * Посчитаем ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> x<sup>3</sup>dx = x<sup>4</sup>/4 |<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> = (x<sub>i</sub><sup>4</sup> − x<sub>i − 1</sub><sup>4</sup>)/4 = (x<sub>i</sub><sup>2</sup> − x<sub>i − 1</sub><sup>2</sup>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> − x<sub>i + 1</sub><sup>2</sup>)/4 = h/4 × (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> + x<sub>i − 1</sub><sup>2</sup>)
| + | |
| - | * h/6 × (x<sub>i − 1</sub><sup>3</sup> + 4x<sub>i − 1/2</sub><sup>3</sup> + x<sub>i</sub><sup>3</sup>) = h/6 × (x<sub>i</sub><sup>3</sup> + x<sub>i − 1</sub><sup>3</sup> + 4 × ((x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)/2)<sup>3</sup>) = h/6 × ((x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> − x<sub>i − 1</sub>x<sub>i</sub> + x<sub>i − 1</sub><sup>2</sup> + (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)<sup>2</sup> × (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)/2)) = h/6 × ((x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>) × 3/2 × (x<sub>i</sub><sup>2</sup> + x<sub>i − 1</sub><sup>2</sup>) = h/4 × (x<sub>i</sub> + x<sub>i + 1</sub>)(x<sub>i</sub><sup>2</sup> + x<sub>i − 1</sub><sup>2</sup>)
| + | |
| - | | + | |
| - | Теперь получим оценку погрешности.
| + | |
| - | * x<sub>i − 1</sub>, x<sub>i − 1/2</sub>, x<sub>i</sub>
| + | |
| - | * H<sub>3</sub>(x<sub>i − 1</sub>) = f<sub>i − 1</sub>
| + | |
| - | * H<sub>3</sub>(x<sub>i − 1/2</sub>) = f<sub>i − 1/2</sub>
| + | |
| - | * H<sub>3</sub>(x<sub>i</sub>) = f<sub>i</sub>
| + | |
| - | * H<sub>3</sub>'(x<sub>i − 1/2</sub>) = f'<sub>i − 1/2</sub>
| + | |
| - | * ∃! ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx ≈ h/6 × (f<sub>i − 1</sub> + 4x<sub>i − 1/2</sub> + x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * f(x) = H<sub>3</sub>(x) + ψ<sub>H<sub>3</sub></sub>(x)
| + | |
| - | * ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx = ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> H<sub>3</sub>(x)dx + ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> ψ<sub>H<sub>3</sub></sub>(x)dx
| + | |
| - | * Ψ<sub>i</sub>(f) = ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> f(x)dx − ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> H<sub>3</sub>(x)dx = ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> ψ<sub>H<sub>3</sub></sub>(x)dx
| + | |
| - | * h/6 × (H<sub>i − 1</sub> + 4H<sub>i − 1/2</sub> + H<sub>i</sub>) = h/6 × (f<sub>i − 1</sub> + 4f<sub>i − 1/2</sub> + f<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * ψ<sub>H<sub>3</sub></sub>(x) = f<sup>(4)</sup>(ξ)/4! (x − x<sub>i − 1</sub>)(x − x<sub>i − 1/2</sub>)<sup>2</sup>(x − x<sub>i</sub>)
| + | |
| - | * M<sub>4</sub> = sup<sub>a ≤ x ≤ b</sub> |f<sup>(4)</sup>(x)|
| + | |
| - | * |Ψ<sub>i</sub>(f)| ≤ M<sub>4</sub>/4! ∫<sub>x<sub>i − 1</sub></sub><sup>x<sub>i</sub></sup> (x − x<sub>i − 1</sub>)(x − x<sub>i − 1/2</sub>)<sup>2</sup>(x − x<sub>i</sub>)dx = M<sub>4</sub>/4! h<sup>5</sup> t(t − 1/2)<sup>2</sup>(1 − t)dt
| + | |
| - | ** x = x<sub>i − 1</sub> + th, 0 ≤ t ≤ 1
| + | |
| - | ** dx = hdt
| + | |
| - | ** (x − x<sub>i − 1/2</sub>)<sup>2</sup> = h<sup>2</sup>(t − 1/2)<sup>2</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. Показать, что ∫<sub>0</sub><sup>1</sup> t(t − 1/2)<sup>2</sup>(1 − t)dt = 1/20
| + | |
| - | | + | |
| - | * |Ψ<sub>i</sub>(f)| ≤ M<sub>4</sub>h<sup>5</sup>/4! × 1/120 = O(h<sup>5</sup>)
| + | |
| - | * Ψ<sub>h</sub>(f) = ∑<sub>i = 1</sub><sup>N</sup>Ψ<sub>i</sub>(f)
| + | |
| - | ** Nh = b − a
| + | |
| - | * Ψ<sub>h</sub>(f) ≤ (h/2)<sup>4</sup> (M<sub>4</sub>(b − a))/180 = O(h<sup>4</sup>)
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 7. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Когда мы начинали эту главу, то говорили, что приближать можно бесконечным числом способов, ставя разными задачами. Приближение алгебраическим полиномом классическое. Часто надо будет приближать в совсем другом смысле.
| + | |
| - | | + | |
| - | Нам следует здесь хорошо понять, в чём заключается задача, и откуда следует единственность.
| + | |
| - | | + | |
| - | В чём заключается задача: пусть задан отрезок [a, b]. Рассматривается множество функций таких, что ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f<sup>2</sup>(x)dx < ∞, f ∈ L<sub>2</sub>. В этом функциональном пространстве вводим векторное произведение: ∀ f, g ∈ L<sub>2</sub>: (f, g) = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)g(x)dx. Норма: ||f|| = (f, f)<sup>1/2</sup> = (∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f<sup>2</sup>(x)dx)<sup>1/2</sup>. Эта норма не согласована с нормой в дискретном L<sub>2</sub>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Рассмотрим φ<sub>0</sub>(x), φ<sub>1</sub>(x), ..., φ<sub>n</sub>(x) ∈ L<sub>2</sub>, {φ<sub>k</sub>(x)}<sub>0</sub><sup>n</sup> — линейно независимые (1)
| + | |
| - | * ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> φ<sub>i</sub><sup>2</sup>(x)dx < ∞
| + | |
| - | * φ(x) = ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub>φ<sub>k</sub>(x) (2) — обобщённый многочлен
| + | |
| - | * Требуется найти такой обобщённый многочлен <span style="border-top:solid 1px">φ</span>(x) = ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>k</sub>φ<sub>k</sub>(x), что
| + | |
| - | ** ||f − <span style="border-top:solid 1px">φ</span>(x)|| = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) − <span style="border-top:solid 1px">φ</span>(x))<sup>2</sup>dx = min<sub>φ(x)</sub>||f − φ(x)||<sub>L<sub>2</sub></sub><sup>2</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Рассмотрим частный случай:
| + | |
| - | * n = 0, φ<sub>0</sub>(x), f(x), φ(x) = c<sub>0</sub>φ<sub>0</sub>(x), φ(x) = <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>0</sub>φ<sub>0</sub>(x) — наилучшее среднее
| + | |
| - | * F(c<sub>0</sub>) = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) − c<sub>0</sub>φ<sub>0</sub>(x))<sup>2</sup>dx = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)<sup>2</sup>dx { = f f} − 2c<sub>0</sub> × ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)φ<sub>0</sub>(x)dx { = f φ<sub>0</sub>} + c<sub>0</sub><sup>2</sup> × ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> φ<sub>0</sub><sup>2</sup>(x)dx{ = φ<sub>0</sub> φ<sub>0</sub>}
| + | |
| - | * F'(c<sub>0</sub>) = 0
| + | |
| - | * ...
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть есть φ<sub>0</sub>(x), φ<sub>1</sub>(x), ..., φ<sub>n</sub>(x)
| + | |
| - | * ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> φ<sub>k</sub><sup>2</sup>(x)dx < ∞, k = 0…n
| + | |
| - | * φ(x) = ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub>φ<sub>k</sub>(x)
| + | |
| - | * F(c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, …, c<sub>n</sub>) = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) − φ(x))<sup>2</sup>dx = ||f − φ||<sub>L<sub>2</sub></sub><sup>2</sup> = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f<sup>2</sup>(x)dx − 2∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> (∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)φ<sub>k</sub>(x)dx) + ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> ∑<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub>(∫<sub>a</sub><sup>b</sup> φ<sub>k</sub>(x)φ<sub>l</sub>(x)dx) = (f, f) − 2∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> (f, φ<sub>k</sub>(x)) + ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> ∑<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub>(φ<sub>k</sub>, φ<sub>l</sub>)
| + | |
| - | * δF(c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub>, …, c<sub>n</sub>)/δc<sub>k</sub> = 0, k = 0…n
| + | |
| - | * ∑<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub>(φ<sub>k</sub>, φ<sub>l</sub>) = (f, φ<sub>k</sub>), k = 0… n
| + | |
| - | Выпишем эту систему (3) подробно:
| + | |
| - | * c<sub>0</sub>(φ<sub>0</sub>, φ<sub>0</sub>) + c<sub>1</sub>(φ<sub>0</sub>, φ<sub>1</sub>) + … c<sub>n</sub>(φ<sub>0</sub>, φ<sub>n</sub>) = (f, φ<sub>0</sub>)
| + | |
| - | * c<sub>0</sub>(φ<sub>1</sub>, φ<sub>0</sub>) + c<sub>1</sub>(φ<sub>1</sub>, φ<sub>1</sub>) + … c<sub>n</sub>(φ<sub>1</sub>, φ<sub>n</sub>) = (f, φ<sub>1</sub>)
| + | |
| - | * ...
| + | |
| - | * c<sub>0</sub>(φ<sub>n</sub>, φ<sub>0</sub>) + c<sub>1</sub>(φ<sub>n</sub>, φ<sub>1</sub>) + … c<sub>n</sub>(φ<sub>n</sub>, φ<sub>n</sub>) = (f, φ<sub>n</sub>)
| + | |
| - | Выпишем матрицу этой системы:
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | | (φ<sub>0</sub>, φ<sub>0</sub>)
| + | |
| - | | (φ<sub>0</sub>, φ<sub>1</sub>)
| + | |
| - | | ...
| + | |
| - | | (φ<sub>0</sub>, φ<sub>n</sub>)
| + | |
| - | |rowspan="4"| = G(φ<sub>0</sub>, φ<sub>1</sub>, φ<sub>n</sub>)
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | (φ<sub>1</sub>, φ<sub>0</sub>)
| + | |
| - | | (φ<sub>1</sub>, φ<sub>1</sub>)
| + | |
| - | | ...
| + | |
| - | | (φ<sub>1</sub>, φ<sub>n</sub>)
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | ...
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | | (φ<sub>n</sub>, φ<sub>0</sub>)
| + | |
| - | | (φ<sub>n</sub>, φ<sub>1</sub>)
| + | |
| - | | ...
| + | |
| - | | (φ<sub>n</sub>, φ<sub>n</sub>)
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | Это матрица Грамма. Определитель матрицы положительный, отличен от 0, тем самым система алгебраических уравнений имеет и при том единственное решение для любой правой части.
| + | |
| - | | + | |
| - | Решение даёт <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>0</sub>, <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>1</sub>, …, <span style="border-top:solid 1px">c</span><sub>n</sub>, и мы получаем наилучшее приближение.
| + | |
| - | | + | |
| - | Тем не менее, существует ряд проблем:
| + | |
| - | * Теоретически, если мы будем добавлять точки, то это должно давать лучшее приближение. В чём проблема: если будет большой порядок, то будем решать численно. Если определитель отличен от 0, но маленький, и это даёт большие погрешности.
| + | |
| - | | + | |
| - | <!-- задремал -->
| + | |
| - | | + | |
| - | === Отклонение ===
| + | |
| - | ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> (f(x) − ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub>φ<sub>k</sub>(x))<sup>2</sup>dx = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)<sup>2</sup>dx − 2∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)φ<sub>0</sub>(x)dx + ∑<sub>l = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>l</sub> ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub> ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> φ<sub>0</sub><sup>2</sup>(x)dx = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup> f(x)<sup>2</sup>dx − ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> ≥ 0
| + | |
| - | * ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> ≤ ||f||<sup>2</sup> — неравенство Бесселя
| + | |
| - | * ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> = ||f||<sup>2</sup> — равенство Парсеваля
| + | |
| - | | + | |
| - | Приходится задействовать много разных областей и решать много проблем, поэтому требуется понимание, что с чем связано.
| + | |
| - | | + | |
| - | В качестве обобщения: абсолютно так же для сеточных функций.
| + | |
| - | | + | |
| - | Таким образом завершим главу.
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
| - | {{Lection-stub}}
| + | |
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
Dig yourself a grave - you will need it.
