| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 13 лекция (от 27 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 15 лекция (от 03 апреля)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | | + | |
| - | * x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T]
| + | |
| - | * δu/δt = δ<sup>2</sup>u/δx<sup>2</sup> + f(x, t) (1)
| + | |
| - | * u(0, t) = μ<sub>1</sub>(t); u(1, t) = μ<sub>2</sub>(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
| + | |
| - | * u(x, 0) = u<sub>0</sub>(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)
| + | |
| - | | + | |
| - | === Пункт 1. Явная разностная схема ===
| + | |
| - | | + | |
| - | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>) ∈ ω<sub>τh</sub> (4)
| + | |
| - | * y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> ∈ ω_<sub>τ</sub> (5)
| + | |
| - | * y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> ∈ ω_<sub>h</sub> (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + τf(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>), n = 0, 1, …;y<sub>0</sub><sup>1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>1</sub>); y<sub>N</sub><sup>1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>1</sub>)
| + | |
| - | | + | |
| - | Разностная схема имеет много достоинств и недостатков. Она проста вреализации, но коварна: она условно-устойчива. Он сходится при жёсткой зависимости размеров шагов: γ = τ/n<sup>2</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Почти все явные схемы являются условно устойчивыми.
| + | |
| - | | + | |
| - | ==== Выяснение погрешности и сходимости ====
| + | |
| - | | + | |
| - | Вводится сеточная функция:
| + | |
| - | | + | |
| - | z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup> — погрешность разностной схемы.
| + | |
| - | | + | |
| - | u<sub>i</sub><sup>n</sup> = u(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>), ||z<sup>n</sup>|| → 0, n → ∞; n, τ → 0.
| + | |
| - | | + | |
| - | Будем доказывать в сильной норме — в норме C: ||z<sup>n</sup>|| = ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> = max<sub>0 ≤ i ≤ N</sub> |z<sub>i</sub><sup>n</sup>|
| + | |
| - | | + | |
| - | y<sub>i</sub><sup>n</sup> = z<sub>i</sub><sup>n</sup> + u<sub>i</sub><sup>n</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | (z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2z<sub>i</sub><sup>n</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + ψ<sub>i</sub><sup>n</sup>; (x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>) ∈ ω<sub>τ</sub>h (7)
| + | |
| - | * z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, t<sub>n</sub> ∈ ω_<sub>n</sub>
| + | |
| - | * ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2u<sub>i</sub><sup>n</sup> + u<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>)/h<sup>2</sup> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>) − (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ (8)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Определение'''. Сеточная ф-ция (8) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4)—(6) на решение задачи (1)—(3).
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. Доказать, что ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(τ + h<sup>2</sup>).
| + | |
| - | | + | |
| - | Уравнение для погрешности то же, за исключением граничных усолвий (он нулевые для задачи первого рода).
| + | |
| - | | + | |
| - | ===== Сходимость =====
| + | |
| - | | + | |
| - | z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2z<sub>i</sub><sup>n</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + τψ<sub>i</sub><sup>n</sup>, γ = τ/h<sup>2</sup> (9)
| + | |
| - | * z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0
| + | |
| - | * γ ≤ 0,5 (10)
| + | |
| - | | + | |
| - | Жёсткое это условие? Да. Если взять h = 10^&minus2, &rtau; ≤ 0,5 × 10^−2, t = 1 ⇒ 20000 шагов, и это только для одного измерения.
| + | |
| - | | + | |
| - | * z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = (1 − 2γ)z<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + τψ<sub>i</sub><sup>n</sup>
| + | |
| - | * |z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup>| ≤ (1 − 2γ)|z<sub>i</sub><sup>n</sup>| + γ(|z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup>| + |z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>|) + τ|ψ<sub>i</sub><sup>n</sup>|
| + | |
| - | * |z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup>| ≤ (1 − 2γ)||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + γ(||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub>) + τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub>, i = 1…N − 1
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + ε||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub>
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||z<sup>0</sup>||<sub>C</sub> { = 0 } + τ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub> (11)
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ τ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub>
| + | |
| - | * ∃ m > 0: ||ψ<sup>k</sup>||<sub>C</sub> ≤ M(τ + h<sup>2</sup>), M не зависит от τ и h
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ M(τ + h<sup>2</sup>)∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> τ = Mt<sub>n</sub>(τ + h<sup>2</sup>)
| + | |
| - | * t<sub>n</sub> ≤ T
| + | |
| - | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ M<sub>1</sub>(τ + h<sup>2</sup>), M<sub>1</sub> = M × T не зависит от τ и h
| + | |
| - | * τ, h → 0: ||z<sup>n + 1</sup>|| → 0 ||y<sup>n</sup> − u<sup>n</sup>||<sub>C</sub> → 0
| + | |
| - | | + | |
| - | ===== Устойчивость =====
| + | |
| - | | + | |
| - | * ||y<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||u<sub>0</sub>||<sub>C</sub> + τ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||f<sup>k</sup>||<sub>C</sub> (12) — априорная оценка и означает устойчивость решения по нач условию и по правой части. Наличие апр оценки и только её означает наличие устойчивости линейной разностной схемы.
| + | |
| - | | + | |
| - | Необходимость. Рассмотрим однор систему уравнений, соответствующую нашей задаче. Покажем, что общее решение неоднородной будет возрастать. Тогда и всё будет возрастать.
| + | |
| - | | + | |
| - | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> (13)
| + | |
| - | ** y<sub>о</sub><sup>n</sup> = q × e<sup>ijhφ</sup>
| + | |
| - | ** i<sup>2</sup> = −1, q ∈ C, &phi ∈ R
| + | |
| - | * q = 1 + γ(e<sup>ihφ</sup> − 2 = e<sup>−ihφ</sup>) = 1 + γ(2cos hφ − 2) = 1 + 2γ(cos hφ − 1) = 1 − 4γsin<sup>2</sup> hφ/2
| + | |
| - | * |q| > 1: y<sub>i</sub><sup>n</sup> → ∞
| + | |
| - | * 1 − 4γsin<sup>2</sup> hφ/2 < 1
| + | |
| - | * 4γsin<sup>2</sup> hφ/2 > 2
| + | |
| - | * γ > 1/2
| + | |
| - | | + | |
| - | Из этого следует, что данная разностная схема условно устойчива и условна сходящаяся.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Пункт 2. Чисто неявная разностная схема (схема с опережением) ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Исходная задача (1)—(3) остаётся.
| + | |
| - | | + | |
| - | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (y<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n + 1</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>) ∈ ω<sub>τh</sub> (4)
| + | |
| - | * y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> ∈ ω_<sub>τ</sub> (5)
| + | |
| - | * y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> ∈ ω_<sub>h</sub> (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | Шаблон:
| + | |
| - | | + | |
| - | * y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(y<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n +1</sup>) + τf(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>)
| + | |
| - | * γy<sub>i − 1</sub><sup>n +1</sup> − (1 + 2γ)y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + γy<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> = −(y<sub>i</sub><sup>n</sup> + τf(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>)), i = 1, 2, …, N − 1
| + | |
| - | | + | |
| - | Тут надо использовать прогонку.
| + | |
| - | | + | |
| - | {|
| + | |
| - | |rowspan = "4"|A = (
| + | |
| - | |−(1 + 2γ)
| + | |
| - | |γ
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |rowspan = "4"|)
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |γ
| + | |
| - | |−(1 + 2γ)
| + | |
| - | |γ
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |γ
| + | |
| - | |−(1 + 2γ)
| + | |
| - | |γ
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan = "7"|…
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | | + | |
| - | Это матрица со строгим диагональным преобладанием.
| + | |
| - | | + | |
| - | * Решение надо находить методом прогонки
| + | |
| - | | + | |
| - | Докажем сходимость: вводим сеточную функцию погрешности
| + | |
| - | | + | |
| - | * z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup> — погрешность разностной схемы.
| + | |
| - | * (z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (z<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n + 1</sup>) + ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> (7)
| + | |
| - | * z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0
| + | |
| - | * ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + u<sub>i − 1</sub><sup>n + 1</sup>)/h<sup>2</sup> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>) − (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. Доказать, что ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(τ + h<sup>2</sup>).
| + | |
| - | | + | |
| - | ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> = max<sub>i<sub>0</sub></sub> |z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup>|
| + | |
| - | | + | |
| - | * z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i<sub>0</sub> + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i<sub>0</sub> − 1</sub><sup>n + 1</sup>) + τψ<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup>
| + | |
| - | * (1 + 2γ)z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i<sub>0</sub> + 1</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i<sub>0</sub> − 1</sub><sup>n + 1</sup>) + τψ<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup>
| + | |
| - | * (1 + 2γ)|z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup>| ≤ ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + 2γ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> + τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub>
| + | |
| - | * (1 + 2γ)||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + 2γ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> + τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub>
| + | |
| - | *
| + | |
| - | //ну задолбался я писать...
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
| - | {{Lection-stub}}
| + | |
