Численные Методы, 14 лекция (от 02 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 08:01, 5 апреля 2007; Esyr01 (Обсуждение)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Предыдущая лекция | Следующая лекция

Содержание

Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики

Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности

  • x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T]
  • δu/δt = δ2u/δx2 + f(x, t) (1)
  • u(0, t) = μ1(t); u(1, t) = μ2(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
  • u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)

Пункт 1. Явная разностная схема

  • (yin + 1 − yin)/τ = (yi + 1n − 2yin + yi − 1n)/h2 + f(xi, tj), (xi, tj) ∈ ωτh (4)
  • y0n + 1 = μ1(tn + 1); yNn + 1 = μ2(tn + 1), tn + 1 ∈ ω_τ (5)
  • yi0 = u0(xi), xi ∈ ω_h (6)

yin + 1 = yin + γ(yi + 1n − 2yin + yi − 1n) + τf(xi, tn), n = 0, 1, …;y01 = μ1(t1); yN1 = μ1(t1)

Разностная схема имеет много достоинств и недостатков. Она проста вреализации, но коварна: она условно-устойчива. Он сходится при жёсткой зависимости размеров шагов: γ = τ/n2

Почти все явные схемы являются условно устойчивыми.

Выяснение погрешности и сходимости

Вводится сеточная функция:

zin = yin − uin — погрешность разностной схемы.

uin = u(xi, tn), ||zn|| → 0, n → ∞; n, τ → 0.

Будем доказывать в сильной норме — в норме C: ||zn|| = ||zn||C = max0 ≤ i ≤ N |zin|

yin = zin + uin

(zin + 1 − zin)/τ = (zi + 1n − 2zin + zi − 1n) + ψin; (xi, tn) ∈ ωτh (7)

  • z0n + 1 = 0, zNn + 1 = 0, tn ∈ ω_n
  • ψin = (ui + 1n − 2uin + ui − 1n)/h2 + f(xi, tn) − (uin + 1 − uin)/τ (8)

Определение. Сеточная ф-ция (8) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4)—(6) на решение задачи (1)—(3).


Задача. Доказать, что ψin = O(τ + h2).

Уравнение для погрешности то же, за исключением граничных усолвий (он нулевые для задачи первого рода).

Сходимость

zin + 1 = zin + γ(zi + 1n − 2zin + zi − 1n) + τψin, γ = τ/h2 (9)

  • z0n + 1 = 0, zNn + 1 = 0, zi0 = 0
  • γ ≤ 0,5 (10)

Жёсткое это условие? Да. Если взять h = 10^&minus2, &rtau; ≤ 0,5 × 10^−2, t = 1 ⇒ 20000 шагов, и это только для одного измерения.

  • zin + 1 = (1 − 2γ)zin + γ(zi + 1n + zi − 1n) + τψin
  • |zin + 1| ≤ (1 − 2γ)|zin| + γ(|zi + 1n| + |zi − 1n|) + τ|ψin|
  • |zin + 1| ≤ (1 − 2γ)||zn||C + γ(||zn||C + ||zn||C) + τ||ψn||C, i = 1…N − 1
  • ||zn + 1||C ≤ ||zn||C + ε||ψn||C
  • ||zn + 1||C ≤ ||z0||C { = 0 } + τ∑k = 0n||ψn||C (11)
  • ||zn + 1||C ≤ τ∑k = 0n||ψn||C
  • ∃ m > 0: ||ψk||C ≤ M(τ + h2), M не зависит от τ и h
  • ||zn + 1||C ≤ M(τ + h2)∑k = 0n τ = Mtn(τ + h2)
  • tn ≤ T
  • ||zn + 1||C ≤ M1(τ + h2), M1 = M × T не зависит от τ и h
  • τ, h → 0: ||zn + 1|| → 0 ||yn − un||C → 0
Устойчивость
  • ||yn + 1||C ≤ ||u0||C + τ∑k = 0n||fk||C (12) — априорная оценка и означает устойчивость решения по нач условию и по правой части. Наличие апр оценки и только её означает наличие устойчивости линейной разностной схемы.

Необходимость. Рассмотрим однор систему уравнений, соответствующую нашей задаче. Покажем, что общее решение неоднородной будет возрастать. Тогда и всё будет возрастать.

  • (yin + 1 − yin)/τ = (yi + 1n − 2yin + yi − 1n)/h2 (13)
    • yоn = q × eijhφ
    • i2 = −1, q ∈ C, &phi ∈ R
  • q = 1 + γ(eihφ − 2 = e−ihφ) = 1 + γ(2cos hφ − 2) = 1 + 2γ(cos hφ − 1) = 1 − 4γsin2 hφ/2
  • |q| > 1: yin → ∞
  • 1 − 4γsin2 hφ/2 < 1
  • 4γsin2 hφ/2 > 2
  • γ > 1/2

Из этого следует, что данная разностная схема условно устойчива и условна сходящаяся.

Пункт 2. Чисто неявная разностная схема (схема с опережением)

Исходная задача (1)—(3) остаётся.

  • (yin + 1 − yin)/τ = (yi + 1n + 1 − 2yin + 1 + yi − 1n + 1)/h2 + f(xi, tn + 1), (xi, tn + 1) ∈ ωτh (4)
  • y0n + 1 = μ1(tn + 1); yNn + 1 = μ2(tn + 1), tn + 1 ∈ ω_τ (5)
  • yi0 = u0(xi), xi ∈ ω_h (6)

Шаблон:

  • yin + 1 = yin + γ(yi + 1n + 1 − 2yin + 1 + yi − 1n +1) + τf(xi, tn + 1)
  • γyi − 1n +1 − (1 + 2γ)yin + 1 + γyi + 1n + 1 = −(yin + τf(xi, tn + 1)), i = 1, 2, …, N − 1

Тут надо использовать прогонку.

A = ( −(1 + 2γ) γ 0 0 0 0 )
γ −(1 + 2γ) γ 0 0 0
0 γ −(1 + 2γ) γ 0 0

Это матрица со строгим диагональным преобладанием.

  • Решение надо находить методом прогонки

Докажем сходимость: вводим сеточную функцию погрешности

  • zin = yin − uin — погрешность разностной схемы.
  • (zin + 1 − zin)/τ = (zi + 1n + 1 − 2zin + 1 + zi − 1n + 1) + ψin (7)
  • z0n + 1 = 0, zNn + 1 = 0, zi0 = 0
  • ψin = (ui + 1n + 1 − 2uin + 1 + ui − 1n + 1)/h2 + f(xi, tn + 1) − (uin + 1 − uin)/τ

Задача. Доказать, что ψin = O(τ + h2).

||zn + 1||C = maxi0 |zi0n|

  • zi0n + 1 = zi0n + γ(zi0 + 1n + 1 − 2zi0n + 1 + zi0 − 1n + 1) + τψi0n
  • (1 + 2γ)zi0n + 1 = zi0n + γ(zi0 + 1n + 1 + zi0 − 1n + 1) + τψi0n
  • (1 + 2γ)|zi0n + 1| ≤ ||zn||C + 2γ||zn + 1||C + τ||ψn||C
  • (1 + 2γ)||zn + 1||C ≤ ||zn||C + 2γ||zn + 1||C + τ||ψn||C

//ну задолбался я писать...


Численные Методы


01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22


Календарь

Февраль
пн
12 19
вт
13 20 27
Март
пн
05 12 19 26
вт
06 13 20 27
Апрель
пн
02 09 16 23 29
вт
03 10 17 24

Дополнительная информация

Содержание курса | Задачи на лекциях

Материалы к экзамену

Вопросы по курсу | Определения


Эта статья является конспектом лекции.

Эта статья ещё не вычитана. Пожалуйста, вычитайте её и исправьте ошибки, если они есть.
Личные инструменты
Разделы