Редактирование: Haskell, 02 лекция (от 05 октября)

Получается, что в зависимости от порядка раскрытия, мы можем найти или не найти нормальную форму.

Определение 2. Аппликативная редукционная стратегия - способ редукции λ-терма, где на каждом шаге выбирается β-редакс, не содержащий других β-редаксов.

В первом примере в первом случае была нормальная редукционная стратегия, в втором - аппликативная. Они моделирует следующие алгоритмы работы в ЯП: при вызове функции иы можем как вычислить аргументы до передачи функции, так и передать их внутрь. В случае С всегда используется аппликативная стратегия. При этом может быть такая ситуация: функция использует второй аргумент только если первый не равен нулю. При этом, если мы подадим такой вызов: f(0, 3/0), то оно рухнет, хотя второй аргумент даже не задействован. В первом случае такого не происходит, но оно работает медленно. Поэтому нормальная стратегия работает медленно, но всегда приводит к результатам. В современных функциональных языках используется модифицированная стратегия, называемая ленивой нормальной стратегией. Идея в том, что мы всё ещё не вычислили значение выражения, но вместо него мы используем дерево, и передаём не всё дерево, а ссылку на него. Это позволяет как ускорить процесс, так и всегда находить результат. Но в языке C существует пример использования нормальной стратегии: это встроенный оператор if. Именно потому, что он встроенный (вы не можете написать свой такой же), он может её использовать. Мы вычислим каждую из ветвей только после вычисления условия.

Арифметика. Здесь используются нумералы Чёрча. Нумералы Чёрча это функция.

Немного сложнее будет с вычитанием. Существует расширение, позволяющее добавлять отрицательные числа, но лектор не видит смысла его показывать, там всё ещё сложнее и запись ещё длиннее. Поэтому, функцию, которая производит вычитание, или хотя бы уменьшение на единицу... мы должны определить pred как функцию, возвращающую предыдущее число или если 0 то 0. Для этого мы должны уметь определять, является ли число нулём. Предикат для этого записывается следующим образом:

Легко проверить, что если бы вместо x было бы хотя бы fx, то получилось бы FALSE. Обратите внимание, как производятся вычисления: вычисления производятся через функцию, передаваему в аргументе.

Таким образом, имея нумералы Чёрча, мы не требуем от языка наличия арифметики, тем не менее, обычно она есть, дабы вычисления работали быстрее.

Далее, списки. Мы говорили, что λ-исчисление это также способ моделирования структур данных. Попробуем смоделировать пару чисел.

Что даёт это определение: если мы определим пару из двух чисел, которую мы потом будем использовать, то редуцируется это следующим образом:

Это функция, которая, в зависимости от того, какой аргумент вы подадите, выдаёт первый элемент или второй (в терминах лиспа - car/cdr)

С использованием пары можем определить лисповский список. Что это такое? Это пара, где первый элемент это элемент, а второй — указатель на вторую пару такого же вида, где второй элемент тоже указатель на пару, где второй элемент — nil.

В лиспе конструктор списка — cons, первый элемент списка — car, получение хвоста списка — cdr. Также существует функция isnull, которая возвращает T, если список пуст.

Это уже можно использовать как список.

Не хватает одного элемента Тьюринг-полного языка — цикла. Наиболее простым методом, с т.з. лектора, является рекурсия. Как её организовать? Всё тот же Хаскел Карри решил использовать определение неподвижной точки. Неподвижная точка — такая точка из области определения функции, что значение функции в этой точке развно этой точке.

Вообще говоря, комбинаторов неподвижной точки существует очень много. Для примера лектор напишет только один, написанный Аланом Тьюрингом:

Общее свойство этих комбинаторов одно: у них есть некоторая часть, которая повторяется. Свойство на самом деле, если мы попробуем раскодировать комбинацию и подставить функцию, то его можно записать следующим обазом:

Как это использовать для рекурсии? Попробуем записать определение факториала:

Для определения факториала требуется цикл. Определим функцию итерация факториала:

Таким образом мы можем видеть что аппарат λ-исчисления является Тьюринг-полным, несмотря на то, что мы не имеем переменных, не имеем ..., организуем всё мы можем.

Так как функциональные языки основываются на λ-исчислении, а в λ-исчислении аппаратом для организации итеративных вычислений используется рекурсия, то она же используется и для ФЯП.